Skip to main content

Теория: Задачи повышенного уровня сложности (короткая версия)

Задание

В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) и пересекаются под углом \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\) Найдите диагонали этого четырехугольника.

\(\displaystyle d_1=\) 
\sqrt{a^2+b^2-ab}
  и  \(\displaystyle d_2=\) 
\sqrt{a^2+b^2+ab}
Решение

Построим рисунок к задаче.

Исследуем четырехугольник \(\displaystyle KLMN\small.\)

Проведем отрезки \(\displaystyle NK,\,ML\) и диагональ \(\displaystyle AC\small.\)

Тогда \(\displaystyle NK\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABC\) (\(\displaystyle AN=NB\) и \(\displaystyle CK=KB\)). Значит,

  • \(\displaystyle NK||AC\small,\)
  • \(\displaystyle NK=\frac{AC}{2}\small.\)
     

Аналогично, \(\displaystyle ML\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ACD\) (\(\displaystyle CL=LD\) и \(\displaystyle AM=MD\)). Значит,

  • \(\displaystyle ML||AC\small,\)
  • \(\displaystyle ML=\frac{AC}{2}\small.\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle NK=ML=\frac{AC}{2}\) и \(\displaystyle NK||AC||ML\small.\)


Аналогично,

\(\displaystyle NM=KL=\frac{BD}{2}\) и \(\displaystyle NM||BD||KL\small.\)


Значит, противоположные стороны четырехугольника \(\displaystyle KLMN\) равны и параллельны.

То есть \(\displaystyle KLMN\) – параллелограмм.

Также теперь, чтобы найти диагонали \(\displaystyle ABCD\small,\) достаточно найти стороны \(\displaystyle KLMN\small.\)

Найдем стороны параллелограмма \(\displaystyle ABCD\small,\) используя теорему косинусов:

\(\displaystyle NK=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2}\) и \(\displaystyle NM=\frac{\sqrt{a^2+b^2+ab}}{2}\small.\)

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения поплам:

\(\displaystyle NO=LO=\frac{a}{2}\) и \(\displaystyle MO=KO=\frac{b}{2}\small.\)

Тогда по теореме косинусов для треугольника \(\displaystyle NOK\small,\) получаем:

\(\displaystyle NK^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-2\cdot\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}\cdot\cos60^{\circ}\small,\)

\(\displaystyle NK=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2}\small.\)


А по теореме косинусов для треугольника \(\displaystyle NOM\small,\) получаем:

\(\displaystyle NM^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-2\cdot\frac{a}{2}\cdot \frac{b}{2}\cdot\cos120^{\circ}\small,\)

\(\displaystyle NM=\frac{\sqrt{a^2+b^2+ab}}{2}\small.\)

Тогда

\(\displaystyle AC=2NK=\sqrt{a^2+b^2-ab}\) и \(\displaystyle BD=2NM=\sqrt{a^2+b^2+ab}\small.\)


Ответ: \(\displaystyle AC=\sqrt{a^2+b^2-ab}\) и \(\displaystyle BD=\sqrt{a^2+b^2+ab}\small.\)