Автомат случайным образом выбирает точку из квадрата \(\displaystyle ABCD{\small .}\) Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику \(\displaystyle ABO{\small ,}\) где \(\displaystyle O\)– точка пересечения диагоналей квадрата.
Выполним чертёж:
Треугольник \(\displaystyle ABO{\small }\) содержится в квадрате \(\displaystyle ABCD{\small.}\)
Значит, вероятность того, что случайно выбранная в квадрате \(\displaystyle ABCD\) точка принадлежит треугольнику \(\displaystyle ABO{\small ,}\) равна отношению площади треугольника \(\displaystyle ABO{\small }\) к площади квадрата \(\displaystyle ABCD{\small:}\)
\(\displaystyle P=\frac{S_{ABO}}{S_{ABCD}}{\small.}\)
Диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) разбивают квадрат \(\displaystyle ABCD\) на четыре равных треугольника: \(\displaystyle ABO{\small,}\,\,BCO{\small,}\,\,CDO\) и \(\displaystyle ADO{\small.}\)
Пусть
\(\displaystyle S_{ABO}=s{\small.}\)
Тогда площадь \(\displaystyle ABCD\) в \(\displaystyle 4\) раза больше:
\(\displaystyle S_{ABCD}=4s{\small.}\)
Получаем, что искомая вероятность равна
\(\displaystyle P=\frac{s}{4s}=0{,}25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}25{\small.}\)