Теория: 11 Вероятностные задачи с использованием комбинаторики - 2

Число всех элементарных  событий равно числу способов, которыми можно выбрать ровно \(\displaystyle \color{blue}{4}\) элемента из множества, в котором \(\displaystyle \color{orange}{12}\) элементов.

Число таких способов равно числу сочетаний из \(\displaystyle \color{orange}{12}\) по \(\displaystyle \color{blue}{4}\small.\)

Подставляя в формулу \(\displaystyle \color{orange}{n}=\color{orange}{12}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{4} \small, \)получаем:

\(\displaystyle C_\color{orange}{12}^{\color{blue}{4}}=\frac{\color{orange}{12}!}{\color{blue}{4}!(\color{orange}{12}-\color{blue}{4})!}=\frac{12!}{4! \cdot 8!}=\frac{9 \cdot 10 \cdot 11\cdot 12 }{1 \cdot 2 \cdot 3\cdot 4}=\color{green}{495} \small.\)

Это и есть число всех элементарных событий. Все такие события равновозможны.

Событию \(\displaystyle A\) благоприятствуют элементарные события, в которых все четыре оставшихся пассажира будут мужчины (из семи, присутствующих в автобусе по условию задачи). 

Значит, число всех благоприятствующих  событий равно числу способов, которыми можно выбрать ровно \(\displaystyle \color{blue}{4}\) элемента из множества, в котором содержится \(\displaystyle \color{orange}{7}\) элементов.

Можно воспользоваться формулой числа сочетаний из \(\displaystyle \color{orange}{7}\) по \(\displaystyle \color{blue}{4}\small.\)

Подставляя в формулу

\(\displaystyle C_\color{orange}{n}^{\color{blue}{k}}=\frac{\color{orange}{n}!}{\color{blue}{k}!(\color{orange}{n}-\color{blue}{k})!}\)

\(\displaystyle \color{orange}{n}=\color{orange}{6}\) и \(\displaystyle \color{blue}{k}=\color{blue}{3} \small, \)получаем:

\(\displaystyle C_\color{orange}{7}^{\color{blue}{4}}=\frac{\color{orange}{7}!}{\color{blue}{4}!(\color{orange}{7}-\color{blue}{4})!}=\frac{7!}{4! \cdot 3!}=\frac{5 \cdot 6 \cdot 7 }{1 \cdot 2 \cdot 3}=\color{red}{35} \small.\)

Значит, событию \(\displaystyle A\) благоприятствует \(\displaystyle \color{red}{35}\) элементарных событий.