Skip to main content

Теория: 06 Формула площади треугольника через радиус описанной окружности (короткая версия)

Задание

В окружность радиуса \(\displaystyle 14\) вписан четырехугольник \(\displaystyle ABCD\small.\) При этом \(\displaystyle AB=BC{ \small ,}\) \(\displaystyle \angle ADC=120^{\circ}\), и площадь треугольника \(\displaystyle BCD\) в два раза меньше площади треугольника \(\displaystyle ABD\small.\) Найдите все стороны четырехугольника \(\displaystyle ABCD\small.\)

\(\displaystyle AB=\)
14\sqrt{3}
  \(\displaystyle CD=\)
2\sqrt{21}
Решение

Построим рисунок к задаче:

Поскольку во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}\small,\) получаем:

\(\displaystyle \angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC=60^{\circ}\small.\)


Треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный \(\displaystyle \left( AB=BC \right)\), и один  из его углов \(\displaystyle 60^{\circ}\small,\) значит, он равносторонний.

Тогда все его стороны равны, и все углы равны \(\displaystyle 60^{\circ}\small.\)


Более того, используя теорему синусов, найдем сторону этого треугольника:

\(\displaystyle \frac{AB}{\sin60^{\circ}}=2R,\) где \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности.

Тогда

\(\displaystyle AB=2R\sin60^{\circ}=14\sqrt{3}\small.\)
 

То есть \(\displaystyle AB=BC=CA=14\sqrt{3}\small.\)

Остается найти две стороны четырехугольника.

Используя информацию о соотношении площадей, установим соотношение сторон \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle DC\small.\)

Воспользуемся правилом вычисления площади:

\(\displaystyle S=\frac{abc}{4R}\small.\)

Тогда

\(\displaystyle S_{ABD}=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4R}\) и \(\displaystyle S_{CBD}=\frac{CB\cdot BD\cdot CD}{4R}\small.\)


Поскольку площадь треугольника \(\displaystyle BCD\) в два раза меньше площади треугольника \(\displaystyle ABD\small,\) получаем:

\(\displaystyle \frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4R}=2\cdot\frac{CB\cdot BD\cdot CD}{4R}\small.\)


Сокращаем равные множители и получаем:

\(\displaystyle AD=2CD\small.\)

Найдем неизвестные стороны четырехугольника \(\displaystyle ABCD\small.\)

Обозначим  \(\displaystyle CD=x\) и запишем теорему косинусов для треугольника \(\displaystyle ACD{\small:}\)

\(\displaystyle AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos120^{\circ}\small.\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\displaystyle \left(14\sqrt{3}\right)^2=(2x)^2+x^2-2x\cdot2x\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\small,\)

\(\displaystyle 588=7x^2\small.\)

Длина стороны неотрицательное число, поэтому:

\(\displaystyle x=\sqrt{588:7}=2\sqrt{21}\small.\)

Таким образом, получаем стороны четырехугольника:

\(\displaystyle AB=BC=14\sqrt{3},\,AD=4\sqrt{21}\) и \(\displaystyle CD=2\sqrt{21}\small.\)

Ответ: \(\displaystyle AB=14\sqrt{3}\) и \(\displaystyle CD=2\sqrt{21}\small.\)