В течение двадцати дней магазин каждый день устраивал опрос среди \(\displaystyle 30\) случайных посетителей. По результатам опросов записывалось количество покупателей, которых не устраивает ассортимент магазина.
Упорядоченные данные о количестве недовольных покупателей:
\(\displaystyle 4\,\,5\,\,5\,\,5\,\,6\,\,6\,\,6\,\,7\,\,7\,\,7\,\,7\,\,7\,\,7\,\,8\,\,8\,\,8\,\,8\,\,9\,\,10\,\,10\)
Также данные представлены в таблице:
| Количество посетителей | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 10\) |
| Количество дней | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2\) |
Среднее равно:
\(\displaystyle \overline{x}=\frac{4\cdot1+5\cdot 3+6\cdot 3+7\cdot6+8\cdot 4+9\cdot1+10\cdot 2}{20}=7\small.\)
Заполните таблицу отклонений:
| Количество посетителей \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) | Количество дней |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 1\) | ||
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 3\) | ||
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 3\) | ||
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 6\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 4\) | ||
| \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 1\) | ||
| \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 2\) | ||
| Сумма:\(\displaystyle 20\) |
И найдите дисперсию:
\(\displaystyle S^2=\)
Напомним определение дисперсии
Дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего.
\(\displaystyle S^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots (x_n-\overline{x})^2}{n}\)
Тогда, чтобы найти дисперсию:
- найдем квадраты отклонений,
- вычислим их среднее.
По условию, среднее равно
\(\displaystyle \overline{x}=7\small.\)
Найдем квадраты отклонений. Представим результат в виде таблицы:
| Количество посетителей \(\displaystyle (x)\) | Отклонение от среднего \(\displaystyle (x-\overline{x})\) | Квадрат отклонения \(\displaystyle (x-\overline{x})^2\) | Количество дней |
| \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 4-7=-3\) | \(\displaystyle (-3)^2=9\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 5-7=-2\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) | \(\displaystyle 3\) |
| \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 6-7=-1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle 3\) |
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 7-7=0\) | \(\displaystyle (0)^2=0\) | \(\displaystyle 6\) |
| \(\displaystyle 8\) | \(\displaystyle 8-7=1\) | \(\displaystyle (1)^2=1\) | \(\displaystyle 4\) |
| \(\displaystyle 9\) | \(\displaystyle 9-7=2\) | \(\displaystyle (2)^2=4\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(\displaystyle 10\) | \(\displaystyle 10-7=3\) | \(\displaystyle (3)^2=9\) | \(\displaystyle 2\) |
| Сумма:\(\displaystyle 20\) |
Остается найти среднее арифметическое квадратов отклонений.
Наблюдения производились \(\displaystyle {20}\small\) дней, тогда среднее арифметическое квадратов отклонений равно:
\(\displaystyle S^2=\frac{9\cdot1+4\cdot3+1\cdot3+0\cdot6+1\cdot4+4\cdot1+9\cdot2}{20}=\frac{50}{20}=2{,}5\small.\)