В наборе данных:
\(\displaystyle 2;\,\,-2;\,\,-1;\,\,-2;\,\,0;\,\,1;\,\, -1;\,\,1\)
среднее равно
\(\displaystyle \overline{x}=-0{,}25\small.\)
Найдите дисперсию этого набора данных:
\(\displaystyle S^2=\)
Если вычислять дисперсию по формуле
\(\displaystyle S^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots (x_n-\overline{x})^2}{n}{ \small ,}\)
то придется возводить отклонения в квадрат.
По условию, среднее \(\displaystyle \overline{x}=-0{,}25\) не является целым числом.
Тогда отклонения тоже будут нецелыми и вычисление их квадратов будет трудоемким.
Поэтому для упрощения вычислений воспользуемся другой формулой вычисления дисперсии:
\(\displaystyle S^2=\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}-(\overline{x})^2\small.\)
Найдем квадраты значений. Представим результат в виде таблицы:
| Значение \(\displaystyle (x)\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -2\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 1\) |
| Квадрат значения \(\displaystyle x^2\) | \(\displaystyle 2^2=4\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle (-2)^2=4\) | \(\displaystyle 0^2=0\) | \(\displaystyle 1^2=1\) | \(\displaystyle (-1)^2=1\) | \(\displaystyle 1^2=1\) |
Всего \(\displaystyle 8\) значений. Тогда среднее арифметическое квадратов:
\(\displaystyle \frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}=\frac{4+4+1+4+0+1+1+1}{8}=\frac{16}{8}=2\small.\)
Подставляя полученное значение в формулу, находим дисперсию:
\(\displaystyle S^2=\frac{x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2}{n}-(\overline{x})^2=2-(-0{,}25)^2=2-0{,}0625=1{,}9375\small.\)
Ответ: \(\displaystyle S^2=1{,}9375\small.\)