Раскройте сумму кубов:
Сначала заметим, что поскольку \(\displaystyle 216t^{\,3}=6^3t^{\, 3}=(6t\,)^3\) и \(\displaystyle 512s^{\,3}=8^3s^{\, 3}=(8s\,)^3,\) то
\(\displaystyle 216t^{\,3}+512s^{\,3}=(6t\,)^3+(8s\,)^3.\)
Теперь воспользуемся формулой "Сумма кубов".
Сумма кубов
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle a^{\,3}+b^{\,3}=(a+b\,)(a^{\,2}-ab+b^{\,2}).\)
В нашем случае, где \(\displaystyle a=6t\) и \(\displaystyle b=8s,\) получаем:
\(\displaystyle (6t\,)^3+(8s\,)^3=(6t+8s\,)((6t\,)^2-6t\cdot 8s+(8s\,)^2).\)
Найдем числовые коэффициенты:
\(\displaystyle \begin{aligned}(6t+8s\,)((6t\,)^2-6t\cdot 8s+(8s\,)^2)&=(6t+8s\,)(6^2t^{\,2}-48ts+8^2s^{\,2})=\\&=(6t+8s\,)(36t^{\,2}-48ts+64s^{\,2})\end{aligned}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 216t^{\,3}+512s^{\,3}=(6t+8s\,)(36t^{\,2}-48ts+64s^{\,2}).\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 6t+8s}\,)({\bf 36t^{\,2}-48ts+64s^{\,2}}).\)