Точка \(\displaystyle P\) лежит вне окружности с центром \(\displaystyle O\small.\) Через точку \(\displaystyle P\) провели прямую, касающуюся окружности в точке \(\displaystyle A\small.\) Найдите радиус окружности, если \(\displaystyle OP=10\) и \(\displaystyle AP=8\small.\)
Решение 1
Проведем секущую из \(\displaystyle P\) через центр окружности. Пусть она пересекает окружность в точках \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle B\small.\) Тогда, если \(\displaystyle R\) – радиус окружности, то отрезки секущих: \(\displaystyle BP=10-R\) и \(\displaystyle CP=10+R\small.\) |  |
Угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду: \(\displaystyle \angle PAB=\angle BCA\small.\)
Тогда треугольники \(\displaystyle APC\) и \(\displaystyle BPA\) подобны по двум углам. Значит, выполняется равенство: \(\displaystyle \frac{AP}{CP}=\frac{BP}{AP}\small.\) |  |
То есть
\(\displaystyle AP^2=BP\cdot CP\small.\)
Подставляя \(\displaystyle AP=8,\) \(\displaystyle BP=10-R\) и \(\displaystyle CP=10+R\small,\) получаем:
\(\displaystyle 8^2=(10-R)(10+R)\small.\)
Упростим правую часть, используя формулу разности квадратов:
\(\displaystyle 64=10^2-R^2\small.\)
Находим радиус:
\(\displaystyle R^2=100-64\small,\)
\(\displaystyle R^2=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle R=6\small.\)
В ходе решения получили правило:
Теорема об отрезках касательной и секущей
Если секущая и касательная проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению отрезков секущей:
\(\displaystyle \color{blue}{AP^2}=\color{green}{BP}\cdot \color{green}{CP}\)
Решение 2
Проведем радиус окружности \(\displaystyle OA\small.\) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Тогда \(\displaystyle \angle OAP=90^{\circ}\small.\) |  |
В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle AOP\) гипотенуза \(\displaystyle OP=10\) и катет \(\displaystyle AP=8\small.\)
Тогда по теореме Пифагора находим второй катет:
\(\displaystyle AO^2=OP^2-AP^2=10^2-8^2=36\small,\)
\(\displaystyle AO=\sqrt{36}=6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle R=6\small.\)