Известно, что \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small .}\) Оцените значение выражения \(\displaystyle 2ab+1{\small .}\)
Зная, что \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small, }\) оценим значение выражения \(\displaystyle 2ab+1{\small.}\)
Оценим последовательно значения выражений \(\displaystyle ab{\small, }\,2ab {\small }\) и \(\displaystyle 2ab+1{\small.}\)
Заметим:
- все числа в неравенствах \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 5<b<6{\small }\) положительны,
- неравенства одного знака.
Значит, можем почленно перемножить эти неравенства:
\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{1}<{a}&<\color{green}{2}{\small}\\\color{orange}{5}<{b}&<\color{green}{6}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{1}\cdot\color{orange}{5}<{a}\cdot{b}<\color{green}{2}\cdot\color{green}{6}{\small,} \\5<{ab}<12 {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Умножим все части полученного неравенства на \(\displaystyle \color{Blue}{2>0}{\small :}\)
\(\displaystyle \color{Blue}{2}\cdot 5<\color{Blue}{2}\cdot ab<\color{Blue}{2}\cdot 12{\small ,}\)
\(\displaystyle 10<\color{Blue}{2}ab<24{\small .}\)
Теперь ко всем частям полученного неравенства прибавим \(\displaystyle \blue{1}{\small:}\)
\(\displaystyle 10+\blue{1}<\color{Blue}{2}ab+\blue{1}<24+\blue{1}{\small,}\)
\(\displaystyle 11<\color{Blue}{2}ab+\blue{1}<25{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 11<{2}ab+{1}<25{\small.}\)