Skip to main content

Теория: Определение и свойства - 1

Задание

В трапеции \(\displaystyle ABCD\) угол \(\displaystyle D\) равен \(\displaystyle 72^{\circ}{\small,}\) точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – середины боковых сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle CD\) соответственно. Найдите угол \(\displaystyle MND{\small.}\) Ответ дайте в градусах.

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания;
  • \(\displaystyle M\) – середина \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle N\) – середина \(\displaystyle CD{\small;}\)
  • \(\displaystyle \angle D=72^{\circ}{\small.}\)

Требуется найти угол \(\displaystyle MND{\small.}\)

\(\displaystyle MN\) – средняя линия трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна половине их суммы.

Значит,

\(\displaystyle MN\parallel BC\parallel AD{\small.}\)


Углы \(\displaystyle MND\) и \(\displaystyle ADC\) – односторонние при пересечении параллельных прямых \(\displaystyle MN\) и \(\displaystyle AD\) секущей \(\displaystyle CD\small.\)

Сумма односторонних углов при пересечении параллельных прямых секущей равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small,}\) то есть

\(\displaystyle \angle MND + \angle ADC=180^{\circ}{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle \angle MND=180^{\circ}- \angle ADC=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 108^{\circ}{\small .}\)