Найдите значение параметра \(\displaystyle k\small,\) при котором равносильны уравнения
\(\displaystyle 2x=10\)
и
\(\displaystyle 2x+k=17\small.\)
\(\displaystyle k=\)
Равносильные уравнения
Равносильными называются уравнения, имеющие одинаковые корни (или не имеющие корней).
Найдем корень первого уравнения \(\displaystyle 2x=10\small,\) а затем выясним, при каком значении параметра \(\displaystyle k\small\) он является корнем второго уравнения \(\displaystyle 2x+k=17\small.\)
Решаем первое уравнение:
\(\displaystyle 2x=10\small,\)
\(\displaystyle x=10:2\small,\)
\(\displaystyle x=5\small.\)
Теперь выясним, при каком значении параметра \(\displaystyle k\small\) число \(\displaystyle x=5\small\) является корнем второго уравнения \(\displaystyle 2x+k=17\small.\)
При подстановке в уравнение \(\displaystyle 2x+k=17\small \) вместо \(\displaystyle x\) числа \(\displaystyle 5\) должно получаться верное равенство:
\(\displaystyle 2\cdot 5+k=17\small. \)
Тогда
\(\displaystyle 10+k=17\small, \)
\(\displaystyle k=17-10\small, \)
\(\displaystyle k=7\small. \)
Значит, уравнения равносильны при \(\displaystyle k=7\small. \)
Ответ: \(\displaystyle k=7\small. \)
Левая часть второго уравнения получена прибавлением к левой части первого уравнения числа \(\displaystyle k\small. \)
Правая часть \(\displaystyle 17\) второго уравнения получена прибавлением к правой части \(\displaystyle 10\) первого уравнения числа \(\displaystyle 7\small. \)
Значит, при \(\displaystyle k=7\small\) уравнения равносильны.