Найдите значение параметра \(\displaystyle k \small,\) при котором уравнение
\(\displaystyle kx+5=3x+2k\)
не имеет корней.
\(\displaystyle k=\)
\(\displaystyle \color{black}1\small.\) В исходном уравнении
\(\displaystyle kx+5=3x+2k\)
перенесём все члены, содержащие \(\displaystyle x\small,\) в левую часть, а остальные – в правую, получим
\(\displaystyle kx-3x=2k-5\small.\)
\(\displaystyle \color{black}2\small.\) Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\small\) за скобки.
Получили уравнение
\(\displaystyle \color{blue}{(k-3)}x=\color{red}{2k-5}\small.\)
\(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small,\)
где \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}{k-3}\small,\) а \(\displaystyle \color{red}b=\color{red}{2k-5}\small.\)
\(\displaystyle \color{black}3\small.\) Проанализируем условия для количества корней линейного уравнения.
линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}ax=\color{red}b\small\) не имеет корней, если одновременно выполняются условия
\(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}0\) и \(\displaystyle \color{red}b=\not \color{red}0\small.\)
В этом случае уравнение принимает вид
\(\displaystyle \color{blue}0\cdot x=\color{red}b\small,\)
и оно не имеет корней.
\(\displaystyle \color{black}4\small.\) Найдём значение \(\displaystyle k\small, \) при котором выполняются оба условия.
Сначала приравняем выражение при \(\displaystyle x\small\) в уравнении \(\displaystyle \color{blue}{(k-3)}x=2k-5\small\) к нулю, то есть
\(\displaystyle \color{blue}{k-3}=\color{blue}0 \small, \)
откуда \(\displaystyle k=3 \small. \)
Значит, при \(\displaystyle k=3 \small\) выполняется условие \(\displaystyle \color{blue}a=\color{blue}0\small.\)
Теперь подставим вместо \(\displaystyle k\small \) значение \(\displaystyle \color{green}3 \small \) в правую часть уравнения \(\displaystyle (k-3)x=\color{red}{2k-5}\small{:}\)
\(\displaystyle \color{red}{2k-5}=2\cdot \color{green}3-5=6-5=\color{red}1=\not 0\small.\)
Условие \(\displaystyle \color{red}b=\not\color{red}0\small\) тоже выполняется.
Таким образом, при \(\displaystyle k=3 \small \) и уравнение \(\displaystyle (k-3)x=2k-5\small,\) и равносильное ему исходное уравнение \(\displaystyle kx+5=3x+2k\small\) не имеют корней.
Ответ: \(\displaystyle k=3 \small.\)