Известно, что \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle 3<b<6{\small .}\) Оцените значение выражения \(\displaystyle \frac{a}{b}{\small .}\)
Заметим, что частное \(\displaystyle \frac{a}{b}{\small }\) можно записать в виде произведения:
\(\displaystyle \frac{a}{b}=a\cdot \frac{1}{b}{\small .}\)
Чтобы оценить \(\displaystyle \frac{a}{b}{\small ,}\) оценим сначала \(\displaystyle \frac{1}{b}{\small, }\) потом \(\displaystyle a\cdot \frac{1}{b}{\small .}\)
Оценим \(\displaystyle \frac{1}{b}{\small .}\) Получим: \(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3}{\small .}\)
Теперь оценим произведение \(\displaystyle a\cdot \frac{1}{b}{\small .}\)
Для этого почленно перемножим неравенства \(\displaystyle 1<a<2\) и \(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{1}{b}<\frac{1}{3}{\small .}\)
Это можно сделать, так как
- все числа в этих неравенствах положительны,
- неравенства одного знака.
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\underset{\color{red}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{ --------------------------------------}}}{\color{red}{\times}\begin{aligned}\,\, \color{orange}{1}<\color{blue}{a}&<\color{green}{2}{\small}\\\color{orange}{\frac{1}{6}}<\color{blue}{\frac{1}{b}}&<\color{green}{\frac{1}{3}}\\\end{aligned}}\\\,\,\color{orange}{1}\cdot\color{orange}{\frac{1}{6}}<\color{blue}{a}\cdot\color{blue}{\frac{1}{b}}<\color{green}{2}\cdot\color{green}{\frac{1}{3}}{\small,} \\ \\\frac{1}{6}<{a}\cdot{\frac{1}{b}}<\frac{2}{3} {\small. \ \ \ \ \ }\end{aligned}\)
Окончательно имеем:
\(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{a}{b}<\frac{2}{3}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{6}<\frac{a}{b}<\frac{2}{3}{\small.}\)