Теория: 15 Операции над многочленами (короткая версия)

Требуется найти такой многочлен \(\displaystyle P\small,\) чтобы выполнялось равенство 

\(\displaystyle P=A\cdot B\small,\)

если

\(\displaystyle A=2x^3-7x\small,\)

\(\displaystyle B=-3x^2+4\small.\)

Многочлен \(\displaystyle P\) является произведением многочленов \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\small.\)

Значит,

\(\displaystyle P=A\cdot B\small,\)

\(\displaystyle P=\left(2x^3-7x\right)\cdot \left(-3x^2+4\right)\small.\)

Для того чтобы перемножить скобки, сначала умножим каждый член из первых скобок на вторые скобки:

\(\displaystyle (\color{blue}{2x^3}-\color{green}{7x})\cdot (-3x^2+4)=\color{blue}{2x^3}\cdot (-3x^2+4)-\color{green}{7x} \cdot (-3x^2+4){\small .}\)

Далее умножим каждые скобки на стоящий перед ними множитель и приведем получившиеся одночлены к стандартному виду:

\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{blue}{2x^3}\cdot (-3x^2+4)-\color{green}{7x}\cdot (-3x^2+4)=\\\kern{1em}=\color{blue}{2x^3}\cdot (-3x^2)+\color{blue}{2x^3}\cdot 4-(\color{green}{7x}\cdot (-3x^2)+\color{green}{7x}\cdot 4)=\\\kern{2em} =(2\cdot (-3))\cdot (x^3\cdot x^2)+(2\cdot 4)\cdot x^3-((7\cdot (-3))\cdot (x\cdot x^2)+(7\cdot 4)\cdot x)=\\\kern{3em} =-6\cdot x^{3+2}+8\cdot x^3-(-21\cdot x^{1+2}+28\cdot x)=\\\kern{4em}=-6x^5+8x^3-(-21x^3+28x){\small .}\end{array}\)

Раскроем скобки:

\(\displaystyle \begin{aligned}-6x^5+8x^3-(-21x^3+28x)=-6x^5+8x^3+21x^3-28x{\small .}\end{aligned}\)

Приведем получившийся многочлен к стандартному виду, приведя подобные одночлены и записывая их по убывающим степеням \(\displaystyle x\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{aligned}-6x^5+8\color{blue}{x^3}+21\color{blue}{x^3}-28x&=-6x^5+(8\color{blue}{x^3}+21\color{blue}{x^3})-28x&=\\&=-6x^5+(8+21)\color{blue}{x^3}-28x&=\\&=-6x^5+29\color{blue}{x^3}-28x{\small .}\end{aligned}\)

Таким образом,

\(\displaystyle P=(2x^3-7x)(-3x^2+4)=-6x^5+29{x^3}-28x{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle P=-6x^5+29{x^3}-28x{\small .}\)