Теория: 24 Разложение квадратного трехчлена на множители методом группировки (короткая версия)

1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{2}).\)
   Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{2})=1.\)
2. Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):

• в первом одночлене \(\displaystyle x^{\bf \color{blue}{2}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 2;\)
• во втором одночлене \(\displaystyle 2x=2x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1.\)

Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf 1}=x.\)

Значит, в выражении \(\displaystyle x^2+2x\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle x:\)

\(\displaystyle x^2+2x=x(x+2).\)

Найдем в выражении \(\displaystyle 5x+10\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle 5x\) и \(\displaystyle 10\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.

1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{5},\color{blue}{10}).\)
   Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{5},\color{blue}{10})=5.\)
2. Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):

• в первом одночлене \(\displaystyle 5x=5x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1;\)
• во втором одночлене \(\displaystyle 10=10x^{\bf \color{blue}{0}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 0.\)

Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,0}=1.\)

Значит, в выражении \(\displaystyle 5x+10\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 5x^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 5:\)

\(\displaystyle 5x+10=5(x+2).\)