Требуется разложить на множители многочлен
\(\displaystyle x^2-12x+35.\)
Сначала одночлен \(\displaystyle 12x\) представим в виде суммы двух слагаемых. Потом раскроем скобки, сгруппируем четыре слагаемых по двум парам, разложим каждую из двух полученных частей на множители.
Если после этого мы увидим, что первая и вторая части имеют один и тот же множитель, то мы сможем вынести его за скобки.
Попробуем представить \(\displaystyle 12x\) в виде
\(\displaystyle 12x=7x+5x.\)
Получим
\(\displaystyle x^2-12x+35=x^2-(7x+5x)+35=x^2-7x-5x+35=\)
\(\displaystyle =(x^2-7x)+(-5x+35).\)
Наше выражение
\(\displaystyle \color{blue}{(x^2-7x)}+\color{green}{(-5x+35)}\)
можно разбить на две части. И первую часть \(\displaystyle \color{blue}{(x^2-7x)},\) и вторую часть \(\displaystyle \color{green}{(-5x+35)}\) разложим на множители.
\(\displaystyle x^2-7x=x(x-7)\)
Найдем в выражении \(\displaystyle x^2-7x\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle x^2\) и \(\displaystyle 7x\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{7}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{1},\color{blue}{7})=1.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle x^{\bf \color{blue}{2}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 2;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 7x=7x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf 1}=x.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle x^2-7x\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle x:\)
\(\displaystyle x^2-7x=x(x-7).\)
\(\displaystyle -5x+35=-5(x-7)\)
Сначала в выражении \(\displaystyle -5x+35\) вынесем знак \(\displaystyle "- ":\)
\(\displaystyle -5x+35=-(5x-35).\)
Найдем в выражении \(\displaystyle 5x-35\) общий множитель для одночленов \(\displaystyle 5x\) и \(\displaystyle 35\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.
- Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов, то есть \(\displaystyle НОД(\color{blue}{5},\color{blue}{35}).\)
Используя разложение на множители или алгоритм Евклида, получаем, что \(\displaystyle НОД(\color{blue}{5},\color{blue}{35})=5.\) - Найдем \(\displaystyle x\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle x\):
- в первом одночлене \(\displaystyle 5x=5x^{\bf \color{blue}{1}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 1;\)
- во втором одночлене \(\displaystyle 35=35x^{\bf \color{blue}{0}}\) переменная \(\displaystyle x\) имеет степень \(\displaystyle 0.\)
Следовательно, \(\displaystyle x\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle x^{\bf \,0}=1.\)
Значит, в выражении \(\displaystyle 5x-35\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 5x^{\,0},\) то есть \(\displaystyle 5:\)
\(\displaystyle 5x-35=5(x-7).\)
Тогда
\(\displaystyle -5x+35=-(5x-35)=-5(x-7).\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle (x^2-7x)+(-5x+35)=x(x-7)-5(x-7).\)
Теперь отметим, что в обеих частях выражения есть один и тот же множитель \(\displaystyle (x-7).\) Значит, его можно вынести за скобки:
\(\displaystyle x\color{red}{(x-7)}-5\color{red}{(x-7)}=\color{red}{(x-7)} (x-5).\)
Таким образом,
\(\displaystyle (x^2-7x)+(-5x+35)=x(x-7)-5(x-7)=(x-7)(x-5).\)
Ответ: \(\displaystyle x^2-12x+35=(x-7)(x-5).\)