Skip to main content

Теория: Свойства - 2 (короткая версия)

Задание

Концы отрезка \(\displaystyle AB\) лежат по одну сторону от прямой \(\displaystyle l{\small.}\) Расстояние от точки \(\displaystyle A\) до прямой \(\displaystyle l\) равно \(\displaystyle 24{\small,}\) а расстояние от точки \(\displaystyle B\) до прямой \(\displaystyle l\) равно \(\displaystyle 62{\small.}\) Найдите расстояние от середины отрезка \(\displaystyle AB\) до прямой \(\displaystyle l{\small.}\)

Решение

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, проведённого из этой точки к данной прямой. Пусть:

  • \(\displaystyle AD\) – перпендикуляр, проведённый из точки \(\displaystyle A\) к прямой \(\displaystyle l{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC\) – перпендикуляр, проведённый из точки \(\displaystyle B\) к прямой \(\displaystyle l{\small.}\)

Изобразим предложенную в задаче конструкцию в виде прямоугольной трапеции \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

  • \(\displaystyle \angle D=\angle C=90^{\circ}{\small;}\)
  • \(\displaystyle AD=24{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=62{\small;}\)
  • \(\displaystyle M\) – середина отрезка \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle MN \perp DC{\small.}\)

Требуется найти длину \(\displaystyle MN{\small.}\)

\(\displaystyle MN\) – средняя линия трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

теорема о средней линии трапеции

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна половине их суммы.

Следовательно,

\(\displaystyle MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{24+62}{2}=\frac{86}{2}=43{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 43{\small .}\)