Skip to main content

Теория: Свойства - 2 (короткая версия)

Задание

Основания \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) равны соответственно \(\displaystyle 8\) и \(\displaystyle 14{\small.}\) Найдите меньший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции диагональ \(\displaystyle BD{\small.}\)

Решение

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция:

  • \(\displaystyle BC=8\) – меньшее основание;
  • \(\displaystyle AD=14\) – большее основание;
  • \(\displaystyle MN\) – средняя линия;
  • \(\displaystyle K\) – точка пересечения диагонали \(\displaystyle BD\) и средней линии \(\displaystyle MN{\small.}\)

Требуется найти меньший из отрезков \(\displaystyle MK\) и \(\displaystyle KN{\small.}\)
 

\(\displaystyle MN=11{\small.}\)


Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABD{\small.}\)

  • \(\displaystyle M\) – середина \(\displaystyle AB{\small;}\)
  • \(\displaystyle MK \parallel AD\) – так как \(\displaystyle MN \parallel AD\) по свойству средней линии трапеции и точка \(\displaystyle K\) лежит на \(\displaystyle MN{\small.}\)

\(\displaystyle MK\) – средняя линия треугольника \(\displaystyle ABD{\small.}\)

По свойству средней линии треугольника

\(\displaystyle MK=\frac{1}{2} \cdot AD=\frac{1}{2} \cdot 14=7{\small.}\)

Поскольку точка \(\displaystyle K\) лежит на \(\displaystyle MN{\small,}\) то

\(\displaystyle KN=MN-MK=11-7=4{\small.}\)

 

Диагональ \(\displaystyle BD\) делит среднюю линию \(\displaystyle MN\) трапеции \(\displaystyle ABCD\) на отрезки

\(\displaystyle MK=7\)   и   \(\displaystyle KN=4{\small.}\)

Длина меньшего из них равна \(\displaystyle 4{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{\small .}\)