Теория: 15 Доказательство неравенств - 1 (короткая версия)

• Подставим \(\displaystyle a=-108\) в неравенство \(\displaystyle a+8\leqslant 0{\small .}\) Получим:

\(\displaystyle -108+8\leqslant 0{\small ,}\)

\(\displaystyle -100\leqslant 0{\small .}\) Верно!
 

• Подставим \(\displaystyle a=0\) в неравенство \(\displaystyle a+8\leqslant 0{\small .}\) Получим:

\(\displaystyle 0+8\leqslant 0{\small ,}\)

\(\displaystyle 8\leqslant 0{\small .}\) Неверно!
 

То есть при некоторых \(\displaystyle a{\small }\) неравенство \(\displaystyle a+8\leqslant 0\) верно, а при некоторых неверно.

Значит, не при всех \(\displaystyle a{\small }\) неравенство \(\displaystyle a+8\leqslant 0\) верно.

\(\displaystyle (a+8)^2\)– квадрат числа, а квадрат числа всегда неотрицателен.

Поэтому неравенство \(\displaystyle (a+8)^2\geqslant 0\) верно для любого \(\displaystyle a{\small .}\)  

• Подставим \(\displaystyle a=-8\) в неравенство \(\displaystyle 7(a+8)^2>0{\small .}\) Получим:

\(\displaystyle 7(-8+8)^2>0{\small ,}\)

\(\displaystyle 7 \cdot 0^2>0{\small ,}\)

\(\displaystyle 0>0{\small .}\) 

Неверно, так как \(\displaystyle \red{0=0{\small .}}\)
 

• Заметим, что при \(\displaystyle a\,\cancel=\,-8 {\small ,}\) неравенство \(\displaystyle 7(a+8)^2>0\) верно.
   

То есть при некоторых \(\displaystyle a{\small }\) неравенство \(\displaystyle 7(a+8)^2>0\) верно, а при некоторых неверно.

Значит, не при всех \(\displaystyle a{\small }\) неравенство \(\displaystyle 7(a+8)^2>0\) верно.

Выражение \(\displaystyle 7a^2+8\) содержит \(\displaystyle a^2{\small .}\)

При любых \(\displaystyle a\) квадрат \(\displaystyle a\) неотрицателен, то есть верно неравенство

\(\displaystyle a^2\geqslant 0{\small .}\)

С помощью свойств неравенств получим в левой части этого верного неравенства выражение \(\displaystyle 7a^2+8{\small .}\)

Домножим обе части неравенства на \(\displaystyle 7>0{\small :}\) 

\(\displaystyle 7a^2\geqslant 0{\small .}\)

Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства \(\displaystyle 8{\small :}\)

\(\displaystyle 7a^2+8\geqslant 0+8{\small ,}\)

\(\displaystyle 7a^2+8\geqslant 8{\small .}\)

Но \(\displaystyle 8>0{\small .}\) Получаем, что одновременно 

\(\displaystyle 7a^2+8\geqslant 8{\small }\) и \(\displaystyle 8>0{\small .}\)

Тогда по свойству транзитивности неравенств

\(\displaystyle 7a^2+8>0{\small .}\)

Выражение \(\displaystyle -7(a+8)^2-6\) содержит \(\displaystyle (a+8)^2{\small .}\)

При любых \(\displaystyle a\) верно неравенство

\(\displaystyle (a+8)^2\geqslant 0{\small .}\)

С помощью свойств неравенств получим в левой части этого верного неравенства выражение \(\displaystyle -7(a+8)^2-6{\small .}\)

Домножим обе части неравенства на \(\displaystyle (-7)<0{\small ,}\) изменив знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle -7(a+8)^2\leqslant 0{\small .}\)

Теперь вычтем из обеих частей неравенства \(\displaystyle 6{\small :}\)

\(\displaystyle -7(a+8)^2-6\leqslant 0-6{\small ,}\)

\(\displaystyle -7(a+8)^2-6\leqslant -6{\small .}\)

Но \(\displaystyle -6<0{\small .}\) Получаем, что одновременно

\(\displaystyle -7(a+8)^2-6\leqslant -6{\small }\) и \(\displaystyle -6<0{\small .}\)

Тогда по свойству транзитивности неравенств

\(\displaystyle -7(a+8)^2-6<0{\small .}\)