Найдите частное при делении многочлена на одночлен:
В ответе запишите многочлен в стандартном виде, в котором коэффициенты одночленов являются обыкновенными дробями.
Поделить многочлен \(\displaystyle 2x^{\,15}-\frac{5}{7}x^{\,11}+\frac{2}{3}x^{\,6}+\frac{8}{9}x^{\,3}\) на \(\displaystyle \frac{3}{7}x^{\,2}\) означает поделить каждый его член на \(\displaystyle \frac{3}{7}x^{\,2}{\small .}\) Поэтому:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(2x^{\,15}-\frac{5}{7}x^{\,11} +\frac{2}{3}x^{\,6}+\frac{8}{9}x^{\,3}\right)&:\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)=\\[10px]=\left(2x^{\,15}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)-\left(\frac{5}{7}x^{\,11}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)&+\left(\frac{2}{3}x^{\,6}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{8}{9}x^{\,3}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right){\small .}\end{aligned}\)
Заменив знак деления \(\displaystyle ":"\) на черту дроби, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(2x^{\,15}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)-\left(\frac{5}{7}x^{\,11}\right)&:\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{2}{3}x^{\,6}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)+\left(\frac{8}{9}x^{\,3}\right):\left(\frac{3}{7}x^{\,2}\right)=\\[10px] &=\frac{\phantom{11}2x^{\,15}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}-\frac{\phantom{11}\dfrac{5}{7}x^{\,11}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\phantom{11}\dfrac{2}{3}x^{\,6}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\phantom{11}\dfrac{8}{9}x^{\,3}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}{\small .}\end{aligned}\)
Поделим друг на друга числовые коэффициенты в каждой дроби и к степеням применим формулу частного степеней:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{\phantom{11}2x^{\,15}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}&-\frac{\phantom{11}\dfrac{5}{7}x^{\,11}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\phantom{11}\dfrac{2}{3}x^{\,6}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}+\frac{\phantom{11}\dfrac{8}{9}x^{\,3}\phantom{11}}{\dfrac{3}{7}x^{\,2}}=\\[10px]&=\left(2:\frac{3}{7}\right)x^{\,15-2}-\left(\frac{5}{7}:\frac{3}{7}\right)x^{\,11-2}+\left(\frac{2}{3}:\frac{3}{7}\right)x^{\,6-2}+\left(\frac{8}{9}:\frac{3}{7}\right)x^{\,3-2}=\\[10px]& =\frac{14}{3}x^{\,13}-\frac{5}{3}x^{\,9}+\frac{14}{9}x^{\,4}+\frac{56}{27}x{\small .}\end{aligned}\)
Данный многочлен записан в стандартном виде.
Ответ: \(\displaystyle \frac{14}{3}x^{\,13}-\frac{5}{3}x^{\,9}+\frac{14}{9}x^{\,4}+\frac{56}{27}x{\small .}\)