На рисунке \(\displaystyle \angle 1= 72^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle 2= 108^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle \angle 3= 80^{\circ}{\small,}\) \(\displaystyle PT\) – биссектриса угла \(\displaystyle MPK{\small.}\)
Найдите угол \(\displaystyle 4{\small.}\) Ответ дайте в градусах.
\(\displaystyle \angle 4=\) \(\displaystyle ^{\circ}{\small.}\)
Обозначим на рисунке величины известных углов.
| Если две прямые пересечены секущей, и сумма односторонних углов равна 180 градусов, то эти прямые параллельны. |  |
 |
\(\displaystyle \angle NMP=\angle 1=72^{\circ}{\small.}\)
\(\displaystyle \angle NMP + \angle 2=72^{\circ}+108^{\circ}=180^{\circ}{\small,}\) то \(\displaystyle MP \parallel NK{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle MPK= 80^{\circ}{\small.}\)
| Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. |  |
 | \(\displaystyle \angle MPK\) и \(\displaystyle \angle 3\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle NK\) и секущей \(\displaystyle KP{\small,}\) значит, \(\displaystyle \angle MPK=\angle 3=80^{\circ}{\small.}\) |
\(\displaystyle \angle 4= 40^{\circ}{\small.}\)
 | \(\displaystyle \angle 4\) и \(\displaystyle \angle MPT\) – накрест лежащие углы при параллельных прямых \(\displaystyle MP\) и \(\displaystyle NK\) и секущей \(\displaystyle PT{\small,}\) значит, \(\displaystyle \angle 4=\angle MPT{\small.}\) |
По условию \(\displaystyle PT\) – биссектриса угла \(\displaystyle MPK{\small,}\) следовательно,
\(\displaystyle \angle MPT=\frac{1}{2}\angle MPK=\frac{1}{2}\cdot 80^{\circ}=40^{\circ}{\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \angle 4=40^{\circ}{\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle \angle 4=40^{\circ}{\small.}\)