Теория: 11 Построение параболы \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) по точкам (короткая версия)

Парабола задана уравнением  \(\displaystyle y=2x^2-4x+5{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle a=2{\small ,}\) \(\displaystyle b=-4{\small ,}\) \(\displaystyle c=5{\small .}\)

Абсцисса вершины 

\(\displaystyle x_{0}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2 \cdot 2}=1{\small .}\)

Подставив \(\displaystyle x_0=\color{blue}{1}\) в уравнение функции, найдём ординату вершины\(\displaystyle y_0{\small :}\)

\(\displaystyle y_0=2 \cdot \color{blue}{1}^2-4 \cdot \color{blue}{1}+5=3{\small .}\)

Значит, вершина параболы точка \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle (1;3){\small .}\)

Абсциссы точек  \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\) заданы в таблице. Найдём ординаты точек (подставив соответствующие значения абсцисс в уравнение функции): 

• если \(\displaystyle x_B=2{\small ,}\) то \(\displaystyle y_B=2 \cdot 2^2-4 \cdot \ 2+5=5{\small ;}\)
• если \(\displaystyle x_C=3{\small ,}\) то \(\displaystyle y_C=2 \cdot 3^2-4 \cdot \ 3+5=11{\small .}\)

Значит, точка \(\displaystyle B\) имеет координаты \(\displaystyle (2;5){\small ,}\) а точка \(\displaystyle C\) –\(\displaystyle (3;11){\small .}\)

Правило

График функции \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) – парабола, вершина которой имеет координаты \(\displaystyle (\color{green}{m};\,n){\small.}\)

Тогда прямая \(\displaystyle x=\color{green}{m} \) является осью симметрии данной параболы.

При этом ось симметрии параболы: параллельна оси \(\displaystyle Oy\) при \(\displaystyle (m \, \cancel= \,0){\small,}\) совпадает с \(\displaystyle Oy\) при \(\displaystyle m=0{\small.}\)

У нас вершина параболы имеет координаты \(\displaystyle (\color{green}{1};3){\small .}\) Значит, осью симметрии параболы является прямая

\(\displaystyle x=\color{green}{1}{\small .}\)

По условию точка \(\displaystyle B_1{\small}\) симметрична точке \(\displaystyle B\) относительно оси симметрии параболы.

В нашем случае ось параболы имеет уравнение \(\displaystyle x=1{\small.}\)

Так как точки \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle B_1\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle x=1{\small,}\) их абсциссы симметричны относительно абсциссы вершины \(\displaystyle x_0=1{\small;}\) их ординаты совпадают. Получаем: \(\displaystyle x_{B_1}=1-1=0{\small;}\)  \(\displaystyle y_{B_1}=y_B=5{\small;}\)

По условию, точка \(\displaystyle C_1{\small}\) симметрична точке \(\displaystyle C\) относительно оси симметрии параболы.

В нашем случае ось параболы имеет уравнение \(\displaystyle x=1{\small.}\)

Так как точки \(\displaystyle C\) и \(\displaystyle C_1\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle x=1{\small,}\) их абсциссы симметричны относительно абсциссы вершины \(\displaystyle x_0=1{\small;}\) их ординаты совпадают. Получаем: \(\displaystyle x_{C_1}=1-2=-1{\small;}\)  \(\displaystyle y_{C_1}=y_C=11{\small;}\)