Теория: 11 Построение параболы \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) по точкам (короткая версия)

В уравнении квадратичной функции \(\displaystyle y=x^2-4x+3{\small }\) коэффициент \(\displaystyle a=1>0{\small .}\)

Значит, ветви параболы направлены вверх.

Парабола задана уравнением \(\displaystyle y=x^2-4x+3{\small .}\)

Значит, \(\displaystyle a=1{\small ,}\) \(\displaystyle b=-4{\small ,}\) \(\displaystyle c=3{\small .}\)

Абсцисса вершины

\(\displaystyle x_{0}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2 \cdot 1}=2{\small .}\)

Подставив \(\displaystyle x_0=\color{blue}{2}\) в уравнение функции, найдём ординату вершины\(\displaystyle y_0{\small :}\)

\(\displaystyle y_0=\color{blue}{2}^2-4 \cdot \color{blue}{2}+3=-1{\small .}\)

Значит, вершина параболы точка \(\displaystyle A\) имеет координаты \(\displaystyle (2;-1){\small .}\)

Абсциссы точек пересечения графика функции \(\displaystyle y=x^2-4x+3{\small }\) с осью \(\displaystyle Ox{\small }\) – это нули функции или корни уравнения

\(\displaystyle x^2-4x+3=0{\small .}\)

Решим квадратное уравнение.

Вычислим дискриминант:

\(\displaystyle {\rm D}=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=4{\small , } \)

\(\displaystyle \sqrt{ \rm D}=\sqrt{4}=2{ \small .}\)

Найдём корни уравнения:

По условию \(\displaystyle x_B<x_C {\small .}\) Тогда \(\displaystyle x_B=1{\small ,}\) \(\displaystyle x_C=3{\small .}\)

Точка \(\displaystyle D\) лежит на оси \(\displaystyle Oy{\small ,}\) поэтому ее абсцисса равна нулю. Для нахождения ординаты подставим \(\displaystyle x=\color{blue}{0}\) в уравнение функции:

\(\displaystyle y_D=\color{blue}{0}^2-4 \cdot \color{blue}{0}+3=3{\small .}\)

Правило

График функции \(\displaystyle y=ax^2+bx+c\) – парабола, вершина которой имеет координаты \(\displaystyle (\color{green}{m};\,n){\small.}\)

Тогда прямая \(\displaystyle x=\color{green}{m} \) является осью симметрии данной параболы.

При этом ось симметрии параболы: параллельна оси \(\displaystyle Oy\) при \(\displaystyle (m \, \cancel= \,0){\small,}\) совпадает с \(\displaystyle Oy\) при \(\displaystyle m=0{\small.}\)

У нас вершина параболы имеет координаты \(\displaystyle (\color{green}{2};-1){\small .}\) Значит, осью симетрии параболы является прямая

\(\displaystyle x=\color{green}{2}{\small .}\)

По условию точка \(\displaystyle E{\small}\) симметрична точке \(\displaystyle D\) относительно оси симметрии параболы.

В нашем случае ось параболы имеет уравнение \(\displaystyle x=2{\small.}\)

Так как точки \(\displaystyle D\) и \(\displaystyle E\) симметричны относительно прямой \(\displaystyle x=2{\small,}\) их абсциссы симметричны относительно абсциссы вершины \(\displaystyle x_0=2{\small;}\) их ординаты совпадают. Получаем: \(\displaystyle x_E=2+2=4{\small;}\) \(\displaystyle y_E=y_D=3{\small.}\)