Гомотетичны ли треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1?\) Если гомотетичны, найдите коэффициент гомотетии, переводящей меньший треугольник в больший.
Если треугольники не гомотетичны, оставьте окно ввода пустым.
\(\displaystyle k=\)
Проведем прямые \(\displaystyle AA_1,\,BB_1\) и \(\displaystyle CC_1\small.\) Они пересекаются в одной точке, назовем ее \(\displaystyle O\small.\)
Также отметим, что соответственные стороны треугольников параллельны: \(\displaystyle AB\left|\right|A_1B_1,\,BC\left|\right|B_1C_1\) и \(\displaystyle CA\left|\right|C_1A_1\small.\) |  |
Тогда треугольники гомотетичны. Посмотрим на треугольники \(\displaystyle AOB\) и \(\displaystyle A_1OB_1\small.\) Поскольку \(\displaystyle AB||A_1B_1\small,\) эти треугольники подобны по двум углам: \(\displaystyle \begin{cases}\angle OAB=\angle OA_1B_1\small,\\\angle OBA=\angle OB_1A_1\small.\end{cases}\) Тогда \(\displaystyle \frac{OA_1}{OA}=\frac{OB_1}{OB}=-k\small.\) То есть при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k\)
Аналогично можно показать, что эта гомотетия переводит \(\displaystyle C\) в \(\displaystyle C_1{\small:}\) \(\displaystyle \frac{OA_1}{OA}=\frac{OC_1}{OC}=-k\small.\) |  |
На рисунке легко посчитать длины отрезков \(\displaystyle OB=4\) и \(\displaystyle OB_1=2\small.\) Получаем:
\(\displaystyle k=-\frac{OB}{OB_1}=-\frac{4}{2}=-2\small.\)
Ответ: треугольники \(\displaystyle ABC\) и \(\displaystyle A_1B_1C_1\) гомотетичны, коэффициент гомотетии \(\displaystyle k=-2\small.\)