Skip to main content

Теория: Вынесение множителя за скобки

Задание

Раскройте скобки и вынесите общий множитель со знаком минус  за скобки так, чтобы члены в скобках не имели общего множителя:
 

\(\displaystyle -42y^{\,21}+7y^{\,13}\,(4y^{\,4}+10)=\)
-14y^{13}
\(\displaystyle \big(\)
3y^8-2y^4-5
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Сначала раскроем скобки, умножив на \(\displaystyle 7y^{\,13}\) каждый член выражения \(\displaystyle 4y^{\,4}+10\):

\(\displaystyle \begin{aligned} -42y^{\,21}+\color{red}{7y^{\,13}}\,(4y^{\,4}+10)&= -42y^{\,21}+\color{red}{7y^{\,13}}\cdot 4y^{\,4}+\color{red}{7y^{\,13}}\cdot 10=\\[10px] &=-42y^{\,21}+(\color{red}{7}\cdot 4)\cdot \color{red}{y^{\,13}}\cdot y^{\,4}+(\color{red}{7}\cdot 10)\cdot \color{red}{y^{\,13}}= \\[10px] &=-42y^{\,21}+28y^{\,17}+70y^{\,13}. \end{aligned}\)

 

Теперь найдем общий множитель, который нужно вынести за скобки со знаком минус.

Выражение \(\displaystyle -42y^{\,21}+28y^{\,17}+70y^{\,13}\) состоит из трех одночленов \(\displaystyle -\color{blue}{42}\color{green}{y^{\,21}}, \, \color{blue}{28}\color{green}{y^{\,17}}\) и \(\displaystyle \color{blue}{70}\color{green}{y^{\,13}}.\)

Для этих выражений нам необходимо найти такой общий множитель, чтобы при его вынесении за скобки оставшиеся в скобках одночлены не имели общих множителей.

Вычислим наибольший общий делитель одночленов \(\displaystyle -42y^{\,21}, \, 28y^{\,17}\) и \(\displaystyle 70y^{\,13}\) как произведение наибольшего общего делителя числовых коэффициентов на переменную в наименьшей степени.

  1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов \(\displaystyle \color{blue}{42},\, \color{blue}{28}\) и \(\displaystyle \color{blue}{70}.\)
    Воспользуемся разложением на множители или алгоритмом Евклида для последовательного нахождения наибольших общих делителей.
    Сначала найдем наибольший делитель первых двух коэффициентов: \(\displaystyle НОД(\color{blue}{42},\color{blue}{28})=14.\) Затем найдем наибольший общий делитель полученного числа и третьего коэффициента: \(\displaystyle НОД(14,\color{blue}{70})=14.\) Таким образом, наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle {\bf 14}.\)
  2. Найдем \(\displaystyle y\) в наименьшей степени, поскольку рассматриваемые одночлены являются одночленами от переменной \(\displaystyle y\):
    В первом одночлене \(\displaystyle -42y^{\bf \,\color{blue}{21}}\) переменная \(\displaystyle y\) имеет степень \(\displaystyle 21.\)
    Во втором одночлене \(\displaystyle 28y^{\bf \,\color{blue}{17}}\) переменная \(\displaystyle y\) имеет степень \(\displaystyle 17.\)
    В третьем одночлене \(\displaystyle 70y^{\bf \,\color{blue}{13}}\) переменная \(\displaystyle y\) имеет степень \(\displaystyle 13.\)
    Следовательно, \(\displaystyle y\) в наименьшей степени – это \(\displaystyle y^{\bf \,13}.\)

Значит, в выражении \(\displaystyle -42y^{\,21}+28y^{\,17}+70y^{\,13}\) можно вынести за скобки общий множитель \(\displaystyle 14y^{\,13}.\) Вынесем этот множитель со знаком минус, как того требует условие задачи:

\(\displaystyle -42y^{\,21}+28y^{\,17}+70y^{\,13}=-14y^{\,13}\left(-\frac{42y^{\,21}}{-14y^{\,13}}+\frac{28y^{\,17}}{-14y^{\,13}}+\frac{70y^{\,13}}{-14y^{\,13}}\right)\)

и, следовательно,

\(\displaystyle -42y^{\,21}+28y^{\,17}+70y^{\,13}=-14y^{\,13}\,(3y^{\,8}-2y^{\,4}-5).\)

Ответ: \(\displaystyle -14y^{\,13}\,(3y^{\,8}-2y^{\,4}-5).\)