Найдите уравнение прямой, проходящей через точки \(\displaystyle A(1;\,1)\) и \(\displaystyle B(-1;\,3)\small.\)
Уравнение прямой
Любая прямая на плоскости задается уравнением
\(\displaystyle ax+by+c=0\small,\)
где \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) не равны нулю одновременно.
Подставьте в уравнение прямой координаты точки \(\displaystyle A{\small:}\)
Подставьте в уравнение прямой координаты точки \(\displaystyle B{\small:}\)
Считая, что \(\displaystyle c=2\small,\) найдите \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) из получившихся уравнений:
Подставим координаты точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) в уравнение прямой.
Подставим координаты точки \(\displaystyle A(1;\,1)\small{:}\)
\(\displaystyle a\cdot 1+b\cdot 1+c=0\small.\)
Подставим координаты точки \(\displaystyle B(-1;\,3)\small{:}\)
\(\displaystyle a\cdot (-1)+b\cdot 3+c=0\small.\)
Получили два уравнения, связывающих \(\displaystyle a,\,b\) и \(\displaystyle c{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{cases}a+b+c=0\small,\\-a+3b+c=0\small.\end{cases}\)
Подставим \(\displaystyle c=2\) и решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
\(\displaystyle \begin{cases}a+b+2=0\small,\\-a+3b+2=0\small\end{cases}\)
это \(\displaystyle a=-1\) и \(\displaystyle b=-1\small.\)
Из первого уравнения выразим \(\displaystyle a{\small:}\)
\(\displaystyle a=-b-2\small.\)
Подставим во второе уравнение и найдем \(\displaystyle b{\small:}\)
\(\displaystyle -(-b-2)+3b+2=0\small,\)
\(\displaystyle 4b+4=0\small,\)
\(\displaystyle b=-1\small.\)
Подставляя \(\displaystyle b=-1\) в первое уравнение, найдем \(\displaystyle a{\small:}\)
\(\displaystyle a+(-1)+2=0\small,\)
\(\displaystyle a=-1\small.\)