Найдите уравнение прямой, проходящей через точки \(\displaystyle A(0;\,0)\) и \(\displaystyle B(-2;\,7)\small.\)
(В каждом окне ввода укажите число.)
Решение 1
Чтобы решить задачу:
- подставим в уравнение прямой координаты точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и получим два уравнения, связывающих \(\displaystyle a,\,b\) и \(\displaystyle c{\small;}\)
- выразим \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle c\) через \(\displaystyle b{\small;}\)
- подставим результат в исходное уравнение прямой и сократим на \(\displaystyle b\small.\)
Уравнение прямой
Любая прямая на плоскости задается уравнением
\(\displaystyle ax+by+c=0\small,\)
где \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) не равны нулю одновременно.
1. Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) лежат на прямой. Значит, если подставить их координаты в уравнение, получится верное равенство.
Подставим координаты точки \(\displaystyle A(0;\,0)\small{:}\)
\(\displaystyle a\cdot 0+b\cdot 0+c=0\small.\)
Подставим координаты точки \(\displaystyle B(-2;\,7)\small{:}\)
\(\displaystyle a\cdot (-2)+b\cdot 7+c=0\small.\)
2. Получили два уравнения, связывающих \(\displaystyle a,\,b\) и \(\displaystyle c{\small:}\)
\(\displaystyle \begin{cases}a\cdot 0+b\cdot 0+c=0\small,\\a\cdot (-2)+b\cdot 7+c=0\small.\end{cases}\)
Из первого уравнения получаем:
\(\displaystyle c=0\small.\)
Из второго уравнения получаем:
\(\displaystyle a=\frac{7}{2} \cdot b\small.\)
3. Подставим \(\displaystyle c\) и \(\displaystyle a\) в уравнение прямой:
\(\displaystyle \frac{7}{2} \cdot b\cdot x+b\cdot y+0=0\small.\)
Одновременно \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) не равны нулю. Тогда \(\displaystyle b\) не равно \(\displaystyle 0\small.\)
Сократим левую и правую часть уравнения на \(\displaystyle b\small{:}\)
\(\displaystyle \frac{\frac{7}{2} \cdot b\cdot x}{b}+\frac{b\cdot y}{b}=\frac{0}{b}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{7}{2} \cdot x+y=0\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 3{,}5 \cdot x+y=0\small.\)
Решение 2
Уравнение любой прямой можно записать одним из двух способов:
- \(\displaystyle y=kx+b\small,\)
- \(\displaystyle x=x_0\small,\) если прямая вертикальная.
Точки \(\displaystyle A(0;\,0)\) и \(\displaystyle B(-2;\,7)\) имеют разные абсциссы. То есть прямая через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) не вертикальная.
Тогда уравнение прямой \(\displaystyle AB\) можно записать в виде
\(\displaystyle y=kx+b\small.\)
Теперь чтобы решить задачу:
- подставим в уравнение прямой координаты точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) и получим два уравнения,
- решим систему из двух линейных уравнений и найдем \(\displaystyle k\) и \(\displaystyle b\small,\)
- запишем уравнение прямой в общем виде.
1. Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) лежат на прямой. Значит, если подставить их координаты в уравнение, получится верное равенство.
Подставим координаты точки \(\displaystyle A(0;\,0)\small{:}\)
\(\displaystyle 0=k\cdot0+b\) или \(\displaystyle b=0\small.\)
Подставим координаты точки \(\displaystyle B(-2;\,7)\small{:}\)
\(\displaystyle 7=k\cdot(-2)+b\) или \(\displaystyle -2k+b=7\small.\)
\(\displaystyle \begin{cases}b=0,\\-2k+b=7.\end{cases}\)
Получаем \(\displaystyle k=-3{,}5\) и \(\displaystyle b=0\small.\)
Тогда уравнение прямой:
\(\displaystyle y=-3{,}5x+0\small.\)
3. Или в общем виде:
\(\displaystyle 3{,}5x+y=0\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 3{,}5x+y=0\small.\)