Теория: 02 Уравнение прямой через две точки на плоскости (короткая версия)

Точка \(\displaystyle M\) – середина отрезка с концами в точках \(\displaystyle B(4;\,2)\) и \(\displaystyle C(2;-1)\small.\)

Тогда координаты точки \(\displaystyle M{\small:}\)

\(\displaystyle x_m=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3\small,\)

\(\displaystyle y_m=\frac{2+(-1)}{2}=\frac{1}{2}\small.\)

Точки \(\displaystyle A(-2;\,3)\) и \(\displaystyle M\left(3;\frac{1}{2}\right)\) имеют разные абсциссы. То есть прямая, проходящая через точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle M\small,\) не вертикальная.

Тогда уравнение прямой \(\displaystyle AM\) можно записать в виде:

\(\displaystyle y=kx+b\small.\)

Последовательно подставляя координаты точек \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle M\) в это уравнение, получаем систему из двух линейных уравнений:

\(\displaystyle \begin{cases}-2k+b=3,\\3k+b=\frac{1}{2}.\end{cases}\)

Решая эту систему, находим:

\(\displaystyle k=-\frac{1}{2}\) и \(\displaystyle b=2\small.\)

Тогда уравнение прямой:

\(\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2\small.\)

Или в общем виде:

\(\displaystyle \frac{1}{2}x+y-2=0\small,\)

\(\displaystyle x+2y-4=0\small.\)

1. Точки \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle M\) лежат на прямой. Значит, если подставить их координаты в уравнение, получится верное равенство.

Подставим координаты точки \(\displaystyle A(-2;\,3)\small{:}\)

\(\displaystyle a\cdot (-2)+b\cdot 3+c=0\small.\)

Подставим координаты точки \(\displaystyle M\left(3;\frac{1}{2}\right)\small{:}\)

\(\displaystyle a\cdot 3+b\cdot \frac{1}{2}+c=0\small.\)

2. Получили два уравнения, связывающих \(\displaystyle a,\,b\) и \(\displaystyle c{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{cases}-2a+3b+c=0\small,\\3a+\frac{1}{2}b+c=0\small.\end{cases}\)

Вычтем из первого уравнения второе:

\(\displaystyle -2a+3b+c-3a-\frac{1}{2}b-c=0\small.\)

Получаем:

\(\displaystyle \frac{5}{2} \cdot b=5a\small,\)

\(\displaystyle b=2a\small.\)

Подставим это значение в первое уравнение и выразим \(\displaystyle c\) через \(\displaystyle a\small{:}\)

\(\displaystyle c=-4a\small.\)

3. Подставим \(\displaystyle b\) и \(\displaystyle c\) в уравнение прямой:

\(\displaystyle a\cdot x+2a \cdot y-4a=0\small.\)

Одновременно \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) не равны нулю. Тогда \(\displaystyle a\) не равно \(\displaystyle 0\small.\)

Сократим левую и правую часть уравнения на \(\displaystyle a\small{:}\)

\(\displaystyle x+2y-4=0\small.\)