Skip to main content

Теория: 03 Решение графическим методом неравенств, содержащих знак модуля

Задание

1. Выберите рисунок, иллюстрирующий решение неравенства

\(\displaystyle |x^2-2x-8|>x+2{\small .}\)

 

Рисунок \(\displaystyle \bf A\)
 		 Рисунок \(\displaystyle \bf B\)
 		 Рисунок \(\displaystyle \bf C\)
 
  

 

Верный рисунок: 

 

2. Используя выбранный рисунок, найдите решение неравенства.

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

1. Чтобы выбрать верный рисунок, построим в одной системе координат графики функций \(\displaystyle y=\left|x^2-2x-8\right|\) и \(\displaystyle y=x+2{\small .}\)

    Построим график функции \(\displaystyle y=\left|x^2-2x-8\right| {\small .}\)

    В этой же координатной плоскости построим график функции \(\displaystyle y=x+2 {\small .}\)

    Видим, что верным является рисунок \(\displaystyle \bf C{\small .}\)

     

    2. Чтобы графически решить неравенство

    \(\displaystyle \left|x^2-2x-8\right| \color{red}{>} x+2{\small ,}\)

    требуется:

    • определить значения \(\displaystyle x {\small,}\) при которых график функции \(\displaystyle y=\left|x^2-2x-8\right|\) расположен выше, чем график функции \(\displaystyle y=x+2{\small .}\)

     


    Видим, что график функции \(\displaystyle y=\left|x^2-2x-8\right|\) расположен выше, чем график функции  \(\displaystyle y=x+2{\small ,}\) при \(\displaystyle x\) из \(\displaystyle (-\infty;-2){\small ,}\) из\(\displaystyle (-2;3)\) и из \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)

    Значит, решением исходного неравенства является объединение этих промежутков.

    Замечание / комментарий

    Заметим, что точка \(\displaystyle (-2;0)\) принадлежит обоим графикам. Значит при \(\displaystyle x=-2\) \(\displaystyle \left|x^2-2x-8\right| \color{red}{=} x+2{\small }\) и исходное строгое неравенство не выполнено. Поэтому точка \(\displaystyle -2\) в решение не входит.

    Ответ: Верный рисунок: \(\displaystyle \bf C{\small .}\)
     \(\displaystyle x\in (-\infty;-2) \cup (-2;3) \cup (5;+\infty) {\small .}\)