Skip to main content

Теория: 17 Теорема Чевы в синусах (короткая версия)

Задание

 В треугольнике \(\displaystyle ABC\) стороны \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle AC\) равны. На биссектрисе угла \(\displaystyle C\) выбрали точку \(\displaystyle D\) так, что \(\displaystyle \angle DBC=30^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle DBA=45^{\circ}\small.\) Прямая \(\displaystyle AD\) пересекает сторону \(\displaystyle BC\) в точке \(\displaystyle E\small.\) Найдите отношение 

\(\displaystyle \frac{BE}{CE}=\)
\sqrt{2}
Решение

Построим рисунок к задаче.

В треугольнике \(\displaystyle ABC\small{:}\)

  • \(\displaystyle AB=AC\small,\)
  • \(\displaystyle CG\) – биссектриса угла \(\displaystyle ACB\small,\)
  • \(\displaystyle \angle DBC=30^{\circ}\small,\)
  • \(\displaystyle \angle DBA=45^{\circ}\small.\)

Точка \(\displaystyle D\) лежит на биссектрисе угла \(\displaystyle C\small,\) значит

\(\displaystyle \angle ACG=\angle BCG=\alpha\small.\)

Чтобы решить задачу:

  • выразим отношение \(\displaystyle BE\) и \(\displaystyle CE\) через синусы углов \(\displaystyle BAE\) и \(\displaystyle CAE\small,\)
  • найдем отношение синусов.

1. Выразим отношение \(\displaystyle BE\) и \(\displaystyle CE\) через синусы углов \(\displaystyle BAE\) и \(\displaystyle CAE\small.\)

\(\displaystyle BE:EC=\frac{\sin \angle BAE}{\sin \angle CAE}\small.\)

По теореме синусов для треугольника \(\displaystyle AEB\small,\) получаем:

\(\displaystyle \frac{AE}{\sin \angle ABE}=\frac{BE}{\sin \angle BAE}\small.\)


По теореме синусов для треугольника \(\displaystyle AEC\small{,}\) получаем:

\(\displaystyle \frac{AE}{\sin \angle ACE}=\frac{CE}{\sin \angle CAE}\small.\)


По условию \(\displaystyle AB=AC\small.\) Треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный, значит \(\displaystyle \angle ABC=\angle ACB\small.\)

Тогда левые части теорем синусов равны:

\(\displaystyle \frac{BE}{\sin \angle BAE}=\frac{AE}{\sin \angle ABE}=\frac{AE}{\sin \angle ACE}=\frac{CE}{\sin \angle CAE}\small.\)

Тогда

\(\displaystyle \frac{BE}{CE}=\frac{\sin \angle BAE}{\sin \angle CAE}\small.\)

2. Найдем отношение синусов углов \(\displaystyle \angle BAE\) и \(\displaystyle \angle CAE{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{\sin \angle BAE}{\sin \angle CAE}=\sqrt2\small.\)

В треугольнике \(\displaystyle ABC\) известны углы, на которые чевианы \(\displaystyle CG\) и \(\displaystyle BF\) делят углы треугольника.

Тогда можно найти отношение синусов углов, на которые \(\displaystyle AE\) делит угол \(\displaystyle A\small.\)


По теореме Чевы в тригонометрической форме, получаем:

\(\displaystyle \frac{\color{blue}{\sin \angle BCG}}{\color{red}{\sin \angle GCA}}\cdot\frac{\color{blue}{\sin \angle CAE}}{\color{red}{\sin \angle BAE}}\cdot\frac{\color{blue}{\sin \angle ABF}}{\color{red}{\sin \angle FBC}}=1\small.\)


Сократим синусы равных углов \(\displaystyle BCG\) и \(\displaystyle GCA\) и подставим известные значения:

\(\displaystyle \frac{\cancel{\sin \alpha}}{\cancel{\sin \alpha}}\cdot\frac{{\sin \angle CAE}}{{\sin \angle BAE}}\cdot\frac{{\sin 45^{\circ}}}{{\sin 30^{\circ}}}=1\small,\)
 

\(\displaystyle \frac{\sin \angle BAE}{\sin \angle CAE}=\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\sqrt2\small.\)

Таким образом, получаем:

\(\displaystyle \frac{BE}{EC}=\frac{\sin \angle BAE}{\sin \angle CAE}=\sqrt2\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{BE}{EC}=\sqrt2\small.\)