Skip to main content

Теория: Задачи (короткая версия)

Задание

В окружность вписан равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны \(\displaystyle 3\small.\) Через его вершину провели хорду окружности длины \(\displaystyle 5\small,\) которая пересекает основание треугольника. Найдите длину отрезка этой хорды, лежащего внутри данного треугольника.

\(\displaystyle \color{red}{?}=\)
\frac{9}{5}
Решение

Обозначим точки и отметим равные углы. Так как треугольник \(\displaystyle ABC\) равнобедренный, то

\(\displaystyle \angle BAC=\angle BCA\small.\)

Углы \(\displaystyle \angle BAC\) и \(\displaystyle \angle BFC\) опираются на одну дугу окружности. Значит, они равны.

Тогда треугольники \(\displaystyle CBK\) и \(\displaystyle FBC\) подобны:

  • \(\displaystyle \angle FBC\) – общий,
  • \(\displaystyle \angle BFC=\angle BCK\small.\)

 

    У подобных треугольников соответственные стороны пропорциональны:

    \(\displaystyle \frac{BC}{BF}=\frac{BK}{BC}\small.\)

    Подставим \(\displaystyle BC=3\) и \(\displaystyle BF=5{\small:}\)

    \(\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{BK}{3}\small,\)

    \(\displaystyle BK=\frac{3}{5}\cdot3=\frac{9}{5}\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle \frac{9}{5}\small.\)