Две окружности касаются внешним образом в точке \(\displaystyle O\small.\) Прямая касается первой окружности в точке \(\displaystyle M\) и пересекает вторую в точке \(\displaystyle K\) (как показано на рисунке). Прямая \(\displaystyle MO\) пересекает вторую окружность в точке \(\displaystyle N\small.\) Найдите отрезок \(\displaystyle KN\small,\) если \(\displaystyle MO = 2\small,\) а \(\displaystyle NO = 3\small.\)
Попробуем воспользоваться тем, что окружности касаются. Проведем через \(\displaystyle O\) их общую касательную.
Обозначим за \(\displaystyle A\) пересечение касательной с \(\displaystyle MK\small.\)
Отметим равные углы. Отрезки касательных из одной точки равны. Значит, \(\displaystyle AM=AO\small.\) Тогда треугольник \(\displaystyle MAO\) равнобедренный и \(\displaystyle \angle AMO=\angle AOM\small.\) Углы \(\displaystyle AOM\) и \(\displaystyle NOB\) вертикальные, а значит, равны.
Угол между касательной и хордой \(\displaystyle NOB\) равен углу \(\displaystyle OKN\small,\) опирающемуся на эту хорду.
|  |
Тогда треугольники \(\displaystyle MNK\) и \(\displaystyle KNO\) подобны:
Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны: \(\displaystyle \frac{MN}{NK}=\frac{NK}{NO}\small.\) Подставим \(\displaystyle NO=3\) и \(\displaystyle MN=2+3=5\small,\) получаем: \(\displaystyle \frac{5}{NK}=\frac{NK}{3}\small,\) \(\displaystyle NK^2=15\small,\) \(\displaystyle NK=\sqrt{15}\small.\) |  |
Ответ: \(\displaystyle NK=\sqrt{15}\small.\)