Skip to main content

Теория: 04 Решение задач с использованием гомотетии (короткая версия)

Скриншот экрана
  Скачать
Задание

Информация

Через середины сторон треугольника провели окружность. Найдите, во сколько раз ее радиус меньше радиуса описанной окружности треугольника.

Пусть вершины исходного треугольника \(\displaystyle M,\,N,\,K\small,\) а точка пересечения его медиан \(\displaystyle O\small.\)

Найдите гомотетию с центром в \(\displaystyle O\small,\) переводящую \(\displaystyle MNK\) в треугольник, образованный серединами сторон.

Чему равен коэффициент этой гомотетии?

\(\displaystyle k=\)
-\frac{1}{2}


Используя эту гомотетию, определите отношение радиуса зеленой окружности к радиусу красной.

\(\displaystyle R:r=\)

Решение

Обозначим середины сторон треугольника \(\displaystyle MNK{\small:}\)

  • \(\displaystyle P\) – середина \(\displaystyle MN\small,\)
  • \(\displaystyle T\) – середина \(\displaystyle NK\small,\)
  • \(\displaystyle S\) – середина \(\displaystyle MK\small.\)

 

При гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=-\frac{1}{2}\) треугольник \(\displaystyle MNK\) переходит в треугольник \(\displaystyle PTS\small.\)

Медианы делятся точкой пересечения в отношении \(\displaystyle 2:1\small,\) считая от вершины треугольника:

  • \(\displaystyle KO=2OP\small,\)
  • \(\displaystyle NO=2OS\small,\)
  • \(\displaystyle MO=2OT\small.\)

Тогда при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle -\frac{1}{2}{\small:}\)

  • \(\displaystyle K\) переходит в \(\displaystyle P\small,\)
  • \(\displaystyle M\) переходит в \(\displaystyle T\small,\)
  • \(\displaystyle N\) переходит в \(\displaystyle S\small.\)

Тогда треугольник \(\displaystyle MNK\) переходит в треугольник \(\displaystyle PTS\small.\)

Значит, при гомотетии с центром в \(\displaystyle O\) и коэффициентом \(\displaystyle k=-\frac{1}{2}{\small:}\)

  • треугольник \(\displaystyle MNK\) переходит в треугольник \(\displaystyle PTS\small,\)
  • окружность через точки \(\displaystyle M,\,N,\,K\) переходит в окружность \(\displaystyle P,\,T,\,S\small.\)

Тогда радиус описанной окружности \(\displaystyle MNK\) в два раза больше радиуса описанной окружности \(\displaystyle PTS{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{2}{1}=2\small.\)

Ответ: \(\displaystyle \frac{R}{r}=2\small.\)