Skip to main content

Теория: 04 Решение задач с использованием гомотетии (короткая версия)

Задание

Внутри квадрата \(\displaystyle ABCD\)  взяли произвольную точку \(\displaystyle F\small.\) Точки \(\displaystyle F_1\small,\)\(\displaystyle F_2\small,\)\(\displaystyle F_3\) и \(\displaystyle F_4\) – точки, симметричные точке \(\displaystyle F\) относительно середин сторон квадрата \(\displaystyle ABCD\small.\) Найдите площадь четырехугольника \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\small,\) если площадь квадрата \(\displaystyle ABCD\) равна \(\displaystyle 30\small.\)

\(\displaystyle S_{F_1F_2F_3F_4}=\)

Решение

Чтобы решить задачу:

  • найдем гомотетию, переводящую \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\) в фигуру известной площади;
  • найдем площадь \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\small.\)

1. Обозначим середины сторон квадрата:

При гомотетии с центром в \(\displaystyle F\) и коэффициентом \(\displaystyle k=\frac{1}{2}\) четырехугольник \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\) переходит в \(\displaystyle PTQR\small.\)

Точки \(\displaystyle F\) и \(\displaystyle F_1\) симметричны относительно \(\displaystyle P\small.\) Значит, \(\displaystyle P\) – середина отрезка \(\displaystyle FF_1{\small:}\)

\(\displaystyle FP=F_1P\small.\)

Аналогично

  • \(\displaystyle T\) – середина \(\displaystyle FF_2\small,\)
  • \(\displaystyle Q\) – середина \(\displaystyle FF_3\small,\)
  • \(\displaystyle R\) – середина \(\displaystyle FF_4\small.\)

Тогда при гомотетии с центром в \(\displaystyle F\) и коэффициентом \(\displaystyle k=\frac{1}{2}\)​ точки \(\displaystyle F_1,\,F_2,\,F_3,\,F_4\) переходят в точки \(\displaystyle P,\,T,\,Q,\,R\small.\)

Четырехугольник \(\displaystyle PTQR\) – квадрат площадью \(\displaystyle 15\small.\)

2. При гомотетии с центром в \(\displaystyle F\) и коэффициентом \(\displaystyle k=\frac{1}{2}\) четырехугольник \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\) переходит в \(\displaystyle PTQR\small.\)

То есть четырехугольник \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\) подобен квадрату \(\displaystyle PTQR\) с коэффициентом подобия \(\displaystyle k=\frac{1}{2}\small.\)

Тогда площадь \(\displaystyle F_1F_2F_3F_4\) в четыре раза больше площади \(\displaystyle PTQR\) и равна:

\(\displaystyle S_{F_1F_2F_3F_4}=\frac{S_{PTQR}}{k^2}=15:\left(\frac{1}{2}\right)^2=60\small.\)

Ответ: \(\displaystyle S_{F_1F_2F_3F_4}=60\small.\)