Задание
Разложите на множители:
\(\displaystyle l^{5}-32m^{5}\)
Решение
Представим число \(\displaystyle 32\) как пятую степень: \(\displaystyle 32=2^5\small.\)
Тогда
\(\displaystyle 32m^{5}=2^{5} m^{5}=(2m)^{5}\small.\)
Получим
\(\displaystyle l^{5}-32m^{5}=l^{5}-(2m)^{5}\small.\)
Правило
Разность \(\displaystyle \small{n}\)-х степеней
При любом натуральном \(\displaystyle n\) выполняется равенство
\(\displaystyle a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\ldots +ab^{n-2}+b^{n-1})\small.\)
Воспользуемся формулой "Разность \(\displaystyle {n}\)-х степеней" для нашего случая \(\displaystyle n=5\):
\(\displaystyle l^5-(2m)^5=(l-2m)(l^4+l^3\cdot 2m+l^2\cdot (2m)^2+l\cdot (2m)^3+(2m)^4)=\)
\(\displaystyle =(l-2m)(l^4+2l^3 m+4l^2 m^2+8l m^3+16m^4)\small.\)
Ответ: \(\displaystyle l^5-32m^5=(l-2m)(l^4+2l^3 m+4l^2 m^2+8l m^3+16m^4)\small.\)