Задание
Разложите на множители:
\(\displaystyle 1+m^{7}\small.\)
Решение
Представим число \(\displaystyle 1\) как седьмую степень: \(\displaystyle 1=1^7\small.\)
Получим
\(\displaystyle 1+m^{7}=1^7+m^{7}\small.\)
Правило
Сумма \(\displaystyle \small{n}\)-х степеней при нечетном \(\displaystyle \small{n}\)
При нечетном натуральном \(\displaystyle n\) выполняется равенство
\(\displaystyle a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-\ldots -ab^{n-2}+b^{n-1})\small.\)
Воспользуемся формулой "Сумма \(\displaystyle \small{n}\)-х степеней при нечетном \(\displaystyle \small{n}\)" для нашего случая \(\displaystyle n=7\):
\(\displaystyle 1^7+m^7=(1+m)(1^6-1^5m+1^4m^2-1^3m^3+1^2m^4-1\cdot m^5+m^6)=\)
\(\displaystyle =(1+m)(1-m+m^2-m^3+m^4-m^5+m^6)\small.\)
Ответ: \(\displaystyle 1+m^7=(1+m)(1-m+m^2-m^3+m^4-m^5+m^6)\small.\)