Skip to main content

Теория: 06 Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (короткая версия)

Задание

В четырехугольнике \(\displaystyle ABCD\) диагонали перпендикулярны. Точка пересечения диагоналей делит их на части \(\displaystyle a,\,b,\,c,\,d\) (как показано на рисунке).

Выразите суммы квадратов противоположных сторон через \(\displaystyle a,\,b,\,c,\,d{\small:}\)

\(\displaystyle AB^2+CD^2=\)
a^2+b^2+c^2+d^2
\(\displaystyle BC^2+DA^2=\)
a^2+b^2+c^2+d^2

Что можно сказать про суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника \(\displaystyle ABCD?\)

Решение

Обозначим точку пересечения диагоналей буквой \(\displaystyle O{\small.}\)

Взаимно перпендикулярные диагонали \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle BD\) разбивают четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) на четыре прямоугольных треугольника:

\(\displaystyle \triangle AOB,\,\triangle BOC,\,\triangle COD,\,\triangle DOA\small.\)

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Запишем теорему Пифагора для каждого из четырех прямоугольных треугольников:

  • \(\displaystyle AB^2=a^2+b^2\small,\\ \)
  • \(\displaystyle BC^2=b^2+c^2\small,\\ \)
  • \(\displaystyle CD^2=c^2+d^2\small,\\ \)
  • \(\displaystyle DA^2=d^2+a^2\small.\)

    Найдём суммы квадратов противоположных сторон четырёхугольника \(\displaystyle ABCD{\small:}\)

    \(\displaystyle AB^2+CD^2=a^2+b^2+c^2+d^2\small,\)

    \(\displaystyle BC^2+DA^2=b^2+c^2+d^2+a^2\small.\)

    В обоих выражениях квадрат каждой из переменных \(\displaystyle a,\,b,\,c,\,d\) встречается ровно один раз.

    То есть суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) равны.

     

    Ответ:

    \(\displaystyle AB^2+CD^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)

    \(\displaystyle BC^2+DA^2=a^2+b^2+c^2+d^2\)

    Суммы квадратов противоположных сторон четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) равны.