Выберите варианты, в которых диагонали четырехугольника \(\displaystyle ABCD\) перпендикулярны.
Воспользуемся правилом:
Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.
\(\displaystyle \color{red}{\alpha}=90^{\circ}\) тогда и только тогда, когда \(\displaystyle \color{blue}a^2+\color{blue}c^2=\color{blue}b^2+\color{blue}d^2\small.\)
Проверим для каждого набора сторон выполнение равенства:
\(\displaystyle AB^2+CD^2=BC^2+AD^2\small.\)
1. В четырехугольнике со сторонами \(\displaystyle AB=1,\,BC=4,\,CD=8,\,AD=7\) диагонали пересекаются под прямым углом, поскольку:
\(\displaystyle 1^2+8^2=65=4^2+7^2\small.\)
2. В четырехугольнике со сторонами \(\displaystyle AB=2,\,BC=6,\,CD=9,\,AD=7\) диагонали пересекаются под прямым углом, поскольку:
\(\displaystyle 2^2+9^2=85=6^2+7^2\small.\)
3. В четырехугольнике со сторонами \(\displaystyle AB=2,\,BC=5,\,CD=9,\,AD=7\) диагонали пересекаются не под прямым углом, поскольку:
\(\displaystyle 2^2+9^2=85\,\cancel{=}\,74=5^2+7^2\small.\)
4. В четырехугольнике со сторонами \(\displaystyle AB=2,\,BC=5,\,CD=10,\,AD=6\) диагонали пересекаются не под прямым углом, поскольку:
\(\displaystyle 2^2+10^2=104\,\cancel{=}\,61=5^2+6^2\small.\)