Skip to main content

Теория: 06 Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями (короткая версия)

Задание

Две стороны треугольника равны \(\displaystyle 14\) и \(\displaystyle 18\small.\) Медианы, проведенные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.

2\sqrt{26}
Решение

Построим рисунок к задаче:

 Пусть \(\displaystyle ABC\) – треугольник:

  • \(\displaystyle AB=14{\small;}\)
  • \(\displaystyle BC=18{\small;}\)
  • точки \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) середины сторон \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) соотвтственно, значит,

\(\displaystyle AM=BM=14:2=7\small,\)

\(\displaystyle BN=CN=18:2=9\small;\)

  • \(\displaystyle AN \perp CM{\small.}\)

    Требуется найти длину \(\displaystyle AC{\small.}\)

    Рассмотрим четырехугольник \(\displaystyle MNCA\small:\)

    \(\displaystyle \color{red}{1)}\) сторона \(\displaystyle MN\) является средней линией треугольника \(\displaystyle ABC\small.\) Следовательно,

    \(\displaystyle MN=\frac{AC}{2}\small.\)

    Обозначим \(\displaystyle MN=x\small,\) тогда \(\displaystyle AC=2x\small.\)


    \(\displaystyle \color{red}{2)}\) диагонали \(\displaystyle AN\) и \(\displaystyle CM\) четырёхугольника \(\displaystyle MNCA\) взаимно перпендикулярны. Значит,

    \(\displaystyle AM^2+CN^2=AC^2+MN^2\small.\)

    Подставим известные значения:

    \(\displaystyle \color{blue}7^2+\color{green}9^2=\color{orange}x^2+(\color{red}{2x})^2\small.\)

    Упростим выражение и найдем \(\displaystyle x\small:\)

    \(\displaystyle 130=5x^2\small;\)

    \(\displaystyle x^2=26{\small.}\)

    \(\displaystyle x\) – длина отрезка, значит,  \(\displaystyle x>0{\small:}\)

    \(\displaystyle x=\sqrt{26}\small.\)

    Найдём \(\displaystyle AC{\small:}\)

    \(\displaystyle AC=2x=2\sqrt{26}\small.\)

    Ответ: \(\displaystyle 2\sqrt{26}\small.\)