На плоскости расположены точки \(\displaystyle A,\,B,\,C\) и \(\displaystyle D\small.\) Упростите выражение:
| \(\displaystyle \underrightarrow{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\) | |
| \(\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}=\) |
Правило многоугольника
Если \(\displaystyle A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots,\,A_n\) – произвольные точки плоскости, то \(\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+\ldots+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}\small.\) |  |
Вычесть вектор – это то же самое, что прибавить противоположный. Тогда заменим все вычитания на сложения:
\(\displaystyle \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}\small.\)
Векторы удобно складывать, если начало вектора совпадает с концом предыдущего. Переставим векторы таким образом:
\(\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}\small.\)
Теперь можно воспользоваться правилом многоугольника:
\(\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}\small.\)
Вектор, начало и конец которого совпадают, – нулевой вектор.
\(\displaystyle \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\small.\)