Если к имеющемуся раствору соли добавить \(\displaystyle 20\)кг воды, то концентрация соли в полученном растворе составит \(\displaystyle 6\%{\small .}\) Если же \(\displaystyle 20\)кг воды смешать с половиной имеющегося раствора, то получится \(\displaystyle 4\%\)-ый раствор соли.
Найдите массу и концентрацию имеющегося раствора.
Назовем исходный раствор первым. Введём переменные:
- \(\displaystyle x\)кг – масса половины первого раствора, тогда \(\displaystyle 2x\)кг – масса первого раствора;
- \(\displaystyle y\%\) – концентрация соли в данном растворе.
При смешивании первого раствора с \(\displaystyle 20\)кг воды получаем второй раствор. При этом:
- \(\displaystyle 2x+20\)кг – масса второго раствора,
- \(\displaystyle 6\%\) – концентрация соли во втором растворе.
Заполним таблицу:
| раствор | масса, кг | % соли | масса соли, кг |
| \(\displaystyle 1\)-й | \(\displaystyle 2x\) | \(\displaystyle y\) |
\(\displaystyle 2x \cdot \frac {y}{100}\) |
| вода | \(\displaystyle 20\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 2\)-й | \(\displaystyle 2x+20\) | \(\displaystyle 6\) |
\(\displaystyle (2x+20) \cdot \frac {6}{100}\) |
Масса соли в полученной смеси равна сумме масс соли в смешиваемых растворах.
Значит, масса соли во втором растворе составляет:
с одной стороны, \(\displaystyle 2x \cdot \frac{y}{100}+0=2x \cdot \frac{y}{100}\)кг;
- с другой стороны, \(\displaystyle (2x+20) \cdot \frac {6}{100}\)кг.
Получаем уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{2x \cdot \frac {y}{100}=(2x+20) \cdot \frac {6}{100}}{ \small .}\)
Рассмотрим, что происходит при смешивании половины первого растора с \(\displaystyle 20\)л воды.
По условию задачи в полученном растворе содержится \(\displaystyle 4\%\) соли.
Заполним таблицу:
| раствор | объем, л | % соли | объём соли |
| \(\displaystyle 1\)-й | \(\displaystyle x\) | \(\displaystyle y\) |
\(\displaystyle x \cdot \frac {y}{100}\) |
| вода | \(\displaystyle 20\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0\) |
| \(\displaystyle 3\)-й | \(\displaystyle x+20\) | \(\displaystyle 4\) |
\(\displaystyle (x+20) \cdot \frac {4}{100}\) |
и составим уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{x \cdot \frac{y}{100}=(x+20) \cdot \frac {4}{100} }{ \small .}\)
Получили систему уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{2x \cdot \frac {y}{100}=(2x+20) \cdot \frac {6}{100}}{\small,}\\[10px]\color{blue}{x \cdot \frac{y}{100}=(x+20) \cdot \frac {4}{100}}{\small.}\end{aligned}\right. \)
Решим полученную систему.
\(\displaystyle x=10{ \small ,}\) \(\displaystyle y=12{ \small .}\)
Требовалось найти:
- массу имеющегося раствора: это \(\displaystyle 2x=2 \cdot 10=20\)кг;
- концентрацию имеющегося раствора в процентах: это \(\displaystyle y=12{ \small .}\)
Таким образом,
масса имеющегося раствора: \(\displaystyle 20\)кг,
концентрация соли: \(\displaystyle 12\%{ \small .}\)