Вкладчик решил разделить имеющуюся сумму в \(\displaystyle 130\) тысяч рублей и открыть вклады двух банках – А и Б. Банк А начисляет на вклад \(\displaystyle 20\%\) годовых.
Через год (после начисления процентов) вклад в банке А был больше вклада в банке Б на \(\displaystyle 15\)тыс. рублей. Если бы процентная ставка в банке А составляла \(\displaystyle 10\%\) годовых, то через год (после начисления процентов) вклад в банке А был бы больше вклада в банке Б на \(\displaystyle 8\)тыс. рублей.
Найдите годовую процентную ставку в банке Б.
У вкладчика имеется сумма \(\displaystyle 130\)тысяч рублей.
Пусть в банк А вкладчик положил \(\displaystyle x\)тысяч рублей, тогда вклад в банке Б составил \(\displaystyle (130-x)\)тысяч рублей.
Обозначим годовую процентную ставку в банке Б за \(\displaystyle p\%{\small .}\)
Для нахождения размера вкладов в каждом из банков воспользуемся правилом:
При увеличении величины \(\displaystyle S\) на \(\displaystyle p \%\) получаем
\(\displaystyle S \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right) {\small .}\)
Сумма вклада в банке А через год (после начисления процентов) (в тыс. рублей):
- при процентной ставке \(\displaystyle 20\%{\small :}\)
\(\displaystyle 1{,}2 x{\small ;}\)
- при процентной ставке \(\displaystyle 10\%{\small :}\)
\(\displaystyle 1{,}1x {\small .}\)
Сумма вклада в банке Б через год (после начисления процентов) (в тыс. рублей):
\(\displaystyle (130-x) \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right){\small .}\)
По условию задачи через год (после начисления \(\displaystyle 20\%\)) вклад в банке А был больше вклада в банке Б на \(\displaystyle 15\)тыс. рублей.
Составим первое уравнение:
\(\displaystyle \color{blue}{1{,}2x -(130-x) \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right)=15}{ \small .}\)
Также известно, что при процентной ставке в \(\displaystyle 10\%\) через год вклад в банке А был бы больше вклада в банке Б на \(\displaystyle 8\)тыс. рублей.
Получаем второе уравнение
\(\displaystyle \color{blue}{1{,}1x -(130-x) \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right)=8}{ \small .}\)
Таким образом, чтобы найти \(\displaystyle p{ \small ,}\) необходимо решить систему уравнений
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1{,}2x -(130-x) \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right)=15} {\small,}\\[10px]\color{blue}{1{,}1x -(130-x) \cdot \left(1+ \frac {p}{100} \right)=8}{\small.}\end{aligned}\right. \)
Введём новую переменную \(\displaystyle y=1+ \frac {p}{100}{\small:}\)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}1{,}2x -(130-x) \cdot y=15{\small,}\\[5px]1{,}1x -(130-x) \cdot y=8{\small}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle x=70{ \small ,}\) \(\displaystyle y=1{,}15{ \small .}\)
Значит,
\(\displaystyle 1+ \frac {p}{100} =1{,}15{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac {p}{100} =0{,}15{ \small ,}\)
откуда
\(\displaystyle p=15{ \small .}\)
Таким образом, годовая процентная ставка в банке Б составляет \(\displaystyle 15\%{ \small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 15\%{ \small .}\)