Skip to main content

Теория: Окружность и круг как ГМТ

Задание

На рисунке обозначены:

  • вершины \(\displaystyle A{\small ,\;}B\) и \(\displaystyle C\) треугольника, одна из которых принадлежит окружности с центром в точке \(\displaystyle O{\small ;}\)
  • середины сторон этого треугольника \(\displaystyle D{\small ,\;}E\) и \(\displaystyle F{\text ;}\)
  • некоторые из точек окружности и сторон треугольника.

Расстояние между точками \(\displaystyle O\) и \(\displaystyle A\) равно \(\displaystyle 13{\small .}\) Оцените расстояние от точки \(\displaystyle O\) до других отмеченных точек.

Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до точек Перетащите сюда правильный ответ больше \(\displaystyle 13{\small .}\)
Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до точек\(\displaystyle A\) Перетащите сюда правильный ответ равно \(\displaystyle 13{\small .}\)
Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до точек Перетащите сюда правильный ответ меньше \(\displaystyle 13{\small .}\)

 

Решение

1. Воспользуемся тем, что окружность является геометрическим местом точек, расстояние от которых до точки \(\displaystyle O\) равно \(\displaystyle 13{\small .}\)

Окружность и круг как геометрические места точек

Окружность с центром в точке \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle r\) является геометрическим местом точек, расстояние от которых до центра равно числу \(\displaystyle r{\small .}\)Круг с центром в точке \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle r\) является геометрическим местом точек, расстояние от которых до центра не превышает числа \(\displaystyle r{\small .}\)

Это значит, что

  • для любой принадлежащей окружности точки \(\displaystyle M\) выполнено равенство \(\displaystyle OM=r{\text ;}\)
  • и обратно: если для какой-то точки \(\displaystyle M\) выполнено равенство \(\displaystyle OM=r{\small ,}\) то эта точка принадлежит окружности с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle r{\small .}\)

Это значит, что

  • для любой принадлежащей кругу точки \(\displaystyle M\) выполнено неравенство \(\displaystyle OM\leqslant r{\text ;}\)
  • и обратно: если для какой-то точки \(\displaystyle M\) выполнено неравенство \(\displaystyle OM\leqslant r{\small ,}\) то эта точка принадлежит кругу с центром \(\displaystyle O\) и радиусом \(\displaystyle r{\small .}\)

Поскольку расстояние между центром окружности и принадлежащей ей точкой \(\displaystyle A\) равно \(\displaystyle 13{\small ,}\) то это число является радиусом окружности.

Значит, все точки окружности и только они удалены от центра на расстояние \(\displaystyle 13{\small .}\)

Из отмеченных это точки \(\displaystyle A{\small ,\;}M\) и \(\displaystyle N{\small .}\) Помещаем их обозначения в среднюю строку. 

2. Круг радиусом \(\displaystyle 13\) является геометрическим местом точек, расстояния от которых до центра не больше \(\displaystyle 13\)

Помещаем в нижнюю строку точки круга: \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle O{\small .}\)

При этом заметим, что точки границы круга нам не подходят, так как расстояние между ними и центром не меньше, а равно радиусу. Но эти обозначения уже помещены в среднюю строку. 

3. Оставшиеся обозначенные точки расположены вне круга.

Для точек \(\displaystyle B{\small ,\;}C{\small ,\;}D\) и \(\displaystyle F\) расстояние до центра круга должно быть больше \(\displaystyle 13{\small ,}\) так как они кругу не принадлежат.

Помещаем эти обозначения точек в верхнюю строку.

Ответ:Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до точек \(\displaystyle B{\small ,\;}C{\small ,\;}D\) и \(\displaystyle F\) больше \(\displaystyle 13{\small .}\)
 Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до точек \(\displaystyle A{\small ,\;}M\) и \(\displaystyle N\) равно \(\displaystyle 13{\small .}\)
 Расстояние от точки \(\displaystyle O\) до точек \(\displaystyle E\) и \(\displaystyle O\) меньше \(\displaystyle 13{\small .}\)