В прямоугольном треугольнике \(\displaystyle ABC\) известны длины двух сторон: \(\displaystyle AC=3\) и \(\displaystyle BC=2{\small .}\)
На следующих рисунках к треугольнику другим цветом добавлены фигуры. Дополните их описания как геометрических мест точек \(\displaystyle M{\small ,\;}\) используя одно, два или три из предложенных условий.
| ИЗОБРАЖЕНИЕ ГМТ | ОПИСАНИЕ ГМТ "Геометрическое место точек \(\displaystyle M{ \small ,}\) удовлетворяющих условиям:..." |
 | |
 | |
 | |
 |
Из предлагаемых вариантов условий принадлежности точки \(\displaystyle M\) фигуре выберем три равенства.
Опишем соответствующие им фигуры и построим их на одном рисунке с треугольником.
- Условие \(\displaystyle MA=3\) означает, что фигура состоит из точек \(\displaystyle M{\small ,}\) расстояние от которых до точки \(\displaystyle A\) равно \(\displaystyle 3{\small .}\) Это описание окружности радиуса \(\displaystyle 3\) с центром в точке \(\displaystyle A{\small .}\)
Заметим, что это условие выполнено, например, для вершины \(\displaystyle C{\small .}\) Проводим через эту вершину окружность радиуса \(\displaystyle 3{\small .}\)
- Условие \(\displaystyle MB=2\) означает, что фигура состоит из точек \(\displaystyle M{\small ,}\) расстояние от которых до точки \(\displaystyle B\) равно \(\displaystyle 2{\small .}\) Это описание окружности радиуса \(\displaystyle 2\) с центром в точке \(\displaystyle B{\small .}\)
Заметим, что это условие выполнено, например, для вершины \(\displaystyle C{\small .}\) Проводим через эту вершину окружность радиуса \(\displaystyle 2{\small .}\)
- Условие \(\displaystyle MC=2\) означает, что фигура состоит из точек \(\displaystyle M{\small ,}\) расстояние от которых до точки \(\displaystyle C\) равно \(\displaystyle 2{\small .}\) Это описание окружности радиуса \(\displaystyle 2\) с центром в точке \(\displaystyle C{\small .}\)
Заметим, что это условие выполнено, например, для вершины \(\displaystyle B{\small .}\) Проводим через эту вершину окружность радиуса \(\displaystyle 2{\small .}\)
 | Обратим внимание, что второе условие-равенство \(\displaystyle MB=2\) соответствует первому из предложенных изображений. Заполняем им первую строку таблицы. |
Перечисляя круги в том же порядке, что и окружности, нанесём на рисунок:
- круг радиуса \(\displaystyle 3\) с центром в точке \(\displaystyle A{\small ,}\) заданный неравенством \(\displaystyle MA\leqslant 3{\text ;}\)
- круг радиуса \(\displaystyle 2\) с центром в точке \(\displaystyle B{\small ,}\) заданный неравенством \(\displaystyle MB\leqslant 2{\text ;}\)
- круг радиуса \(\displaystyle 2\) с центром в точке \(\displaystyle C{\small ,}\) заданный неравенством \(\displaystyle MC\leqslant 2{\small .}\)
 | Изображение во второй строке таблицы соответствует общей части второго и третьего кругов. Помещаем в эту строку условия \(\displaystyle MB\leqslant 2\) и \(\displaystyle MC\leqslant 2\) |
 | В третьей строке таблицы изображена фигура, состоящая из точек первого круга, лежащих на границе и вне третьего круга. Выбираем условие \(\displaystyle MA\leqslant 3{\small ,\;}\) чтобы точки попадали в первый круг. Чтобы отобрать из них только те, что лежат на границе или вне третьего, используем условие \(\displaystyle MC\geqslant 2\) (расстояние до центра \(\displaystyle C\) не меньше радиуса). |
Остались условия \(\displaystyle MA=3{\small ,\;}MC=2{\small ,\;}MB\geqslant 2\) и \(\displaystyle MA\geqslant 3{\small .}\)
Два из оставшихся условий соответствуют первой и третьей окружностям. Но эти окружности имеют только две общих точки. Поэтому для ответа придётся выбирать только одно из них.
 | Фигура выглядит как часть третьей окружности. Значит, следует использовать условие \(\displaystyle MC=2{\small .}\) Добавляем к нему оставшиеся условия: \(\displaystyle MB\geqslant 2~-\) точки лежат вне второго круга или на его границе. \(\displaystyle MA\geqslant 3~-\) точки лежат вне первого круга или на его границе. Оба условия правдоподобны для данного рисунка. |
| Ответ: |  |