Из точки \(\displaystyle F\) внутренней области угла \(\displaystyle BOK\) на его стороны опущены перпендикуляры.
Кроме оснований перпендикуляров, на сторонах угла отмечены ещё несколько точек.
Известны длины образовавшихся на сторонах угла отрезков:
\(\displaystyle OA=6{\small ,\;}AB=5{\small ,\;}BC=4{\small ,\;}CD=7{\small ,\;}DE=3{\small ,\;}OK=10{\small ,\;}KL=4{\small ,\;}LM=6{\small ,\;}MN=6{\small .}\)
На выбор даны различные варианты отрезков. Найдите среди них пару отрезков равной длины.
| \(\displaystyle =\) |
Все возможные варианты ответа \(\displaystyle -\) отрезки, соединяющие точку \(\displaystyle F\) с точками на сторонах угла.
Равенство этих отрезков \(\displaystyle -\) то же самое, что и равенство расстояний от точки \(\displaystyle F\) до двух других точек.
Точка \(\displaystyle F\) принадлежит двум перпендикулярам \(\displaystyle FB\) и \(\displaystyle FK{\small ,}\) опущенным на стороны угла.
Если удастся найти отрезок на одной из сторон угла, в середину которого опущен перпендикуляр, то расстояния от точки \(\displaystyle F\) до его концов будут совпадать.
Чтобы установить равенство частей отрезка \(\displaystyle OD{ \small ,}\) сосчитаем их длины:
\(\displaystyle BD=BC+CD=4+7=11,~~~~~~~~~BO=AB+OA=5+6=11{\small .}\)
Перебор других вариантов (остаётся \(\displaystyle 5\) вариантов) показывает, что серединой никакого другого отрезка с концами в отмеченных точках точка \(\displaystyle B\) не является.
Поскольку точка \(\displaystyle F\) принадлежит серединному перпендикуляру отрезка \(\displaystyle OD{ \small ,}\) расстояния \(\displaystyle DF\) и \(\displaystyle OF\) равны.
Это могло бы быть ответом задачи, но отрезка \(\displaystyle OF\) среди вариантов ответа нет.
Чтобы установить равенство частей отрезка \(\displaystyle OM{ \small ,}\) установим равенство их длин:
\(\displaystyle KM=KL+LM=4+6=10=OK{\small .}\)
Перебор других вариантов (остаётся \(\displaystyle 2\) варианта) показывает, что серединой никакого другого отрезка с концами в отмеченных точках точка \(\displaystyle K\) не является.
Поскольку точка \(\displaystyle K\) принадлежит серединному перпендикуляру отрезка \(\displaystyle OM{ \small ,}\) расстояния \(\displaystyle FO\) и \(\displaystyle FM\) равны.
Это могло бы быть ответом задачи, но отрезка \(\displaystyle FO\) среди вариантов ответа нет.
В двух предыдущих пунктах установлены равенства \(\displaystyle DF=OF\) и \(\displaystyle FO=FM{\small .}\)
Значит, оба отрезка \(\displaystyle DF\) и \(\displaystyle FM\) равны отрезку \(\displaystyle FO{\small ,}\) а значит равны между собой: \(\displaystyle DF=FM{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle DF=FM{\small .}\)