Из точки \(\displaystyle P\) на прямую \(\displaystyle a\) опущен перпендикуляр \(\displaystyle PH{\small .}\)
На прямой \(\displaystyle a\) отмечены ещё несколько точек, ограничивающие отрезки известных длин:
\(\displaystyle AB=7{\small ,\;}BC=5{\small ,\;}CH=7{\small ,\;}HD=6{\small ,\;}DE=6{\small ,\;}EF=6{\small .}\)
Найдите среди предложенных вариантов пару обозначений равных отрезков.
| \(\displaystyle =\) |
Все возможные варианты ответа \(\displaystyle -\) отрезки, соединяющие точку \(\displaystyle P\) с точками прямой \(\displaystyle a{\small .}\)
Равенство этих отрезков \(\displaystyle -\) то же самое, что и равенство расстояний от точки \(\displaystyle P\) до двух других точек.
Точка \(\displaystyle P\) принадлежит прямой \(\displaystyle PH{\small ,}\) которая перпендикулярна прямой \(\displaystyle a{\small ,}\) и должна являться серединным перпендикуляром к отрезку с концами в искомых точках.
Расстояния \(\displaystyle CH\) и \(\displaystyle DH\) известны из условия: они равны \(\displaystyle 7\) и \(\displaystyle 6\) соответственно.
Для остальных интересующих нас расстояний воспользуемся тем, что они являются длинами отрезков, составленных из частей известных длин.
Просто сложим длины частей каждого отрезка:
\(\displaystyle AH=AB+BC+CH=7+5+7=19{\small ,}\)
\(\displaystyle BH=BC+CH=5+7=\)\(\displaystyle 12{\small ,}\)
\(\displaystyle EH=HD+DE=6+6=\)\(\displaystyle 12{\small ,}\)
\(\displaystyle FH=HD+DE+EF=6+6+6=18{\small .}\)
Видим, что отрезки \(\displaystyle BH\) и \(\displaystyle EH\) равны и других равных отрезков среди рассматриваемых нет.
Значит точка \(\displaystyle H\) является серединой только отрезка \(\displaystyle BE{\small ,}\) а прямая \(\displaystyle PH~-\) серединный перпендикуляр только к отрезку \(\displaystyle BE{\small .}\)
Точка \(\displaystyle P\) равноудалена только от концов отрезка \(\displaystyle BE{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle BP=EP{\small .}\)