Определите тип треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) если известны значения следующих скалярных произведений:
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=9\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=8\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=17\small.\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\)
Для определения типа треугольника достаточно проверить, есть ли среди углов этого треугольника тупой или прямой угол. Это можно сделать, сравнив значения косинусов углов с нулем:
- косинус острого угла принимает положительные значения;
- косинус прямого угла равен нулю;
- косинус тупого угла отрицателен.
Выясним, какие знаки имеют значения косинусов углов треугольника.
Напомним, что скалярным произведением векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) называется число
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}).\)
Числа \(\displaystyle |\overrightarrow {a}| \) и \(\displaystyle |\overrightarrow {b}|\) всегда положительны. То есть знак косинуса угла равен знаку скалярного произведения.
Тогда
- два вектора образуют острый угол, если значение скалярного произведения этих векторов положительно;
- два вектора образуют тупой угол, если значение скалярного произведения этих векторов отрицательно;
- два вектора образуют прямой угол, если значение скалярного произведения этих векторов равно нулю.
1. Рассмотрим угол при вершине \(\displaystyle \color{blue}A\small.\)
Этот угол образуют векторы \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) и\(\displaystyle \overrightarrow{AC}\small.\)
Из условия известно, что \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=9\small.\) То есть скалярное произведение этих векторов положительно.
Следовательно, угол \(\displaystyle A\) – острый.
2. Рассмотрим угол при вершине \(\displaystyle \color{blue}B\small.\)
Этот угол образуют векторы \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) и\(\displaystyle \overrightarrow{BA}\small.\)
Из условия известно, что \(\displaystyle \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=8\small.\) То есть скалярное произведение этих векторов положительно.
Следовательно, угол \(\displaystyle B\) – острый.
3. Рассмотрим угол при вершине \(\displaystyle \color{blue}C\small.\)
Этот угол образуют векторы \(\displaystyle \overrightarrow{CA}\) и\(\displaystyle \overrightarrow{CB}\small.\)
Из условия известно, что \(\displaystyle \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=17\small.\) То есть скалярное произведение этих векторов положительно.
Следовательно, угол \(\displaystyle C\) – острый.
Таким образом, все углы треугольника \(\displaystyle ABC\) – острые. То есть треугольник \(\displaystyle ABC\) – остроугольный.