Определите тип треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) если известны значения следующих скалярных произведений:
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=12\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=37\small,\)
- \(\displaystyle \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}=64\small.\)
Треугольник \(\displaystyle ABC\)
Для определения типа треугольника достаточно проверить, есть ли среди углов этого треугольника тупой или прямой угол. Это можно сделать, сравнив значения косинусов углов с нулем:
- косинус острого угла принимает положительные значения;
- косинус прямого угла равен нулю;
- косинус тупого угла отрицателен.
Выясним, какие знаки имеют значения косинусов углов треугольника.
Напомним, что скалярным произведением векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) называется число
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}).\)
Числа \(\displaystyle |\overrightarrow {a}| \) и \(\displaystyle |\overrightarrow {b}|\) всегда положительны. То есть знак косинуса угла равен знаку скалярного произведения.
Тогда
- два вектора образуют острый угол, если значение скалярного произведения этих векторов положительно;
- два вектора образуют тупой угол, если значение скалярного произведения этих векторов отрицательно;
- два вектора образуют прямой угол, если значение скалярного произведения этих векторов равно нулю.
1. Рассмотрим угол при вершине \(\displaystyle \color{blue}А\small.\)
Этот угол образуют векторы \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\) и\(\displaystyle \overrightarrow{AC}\small.\)
Из условия известно, что \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=37\small.\) То есть скалярное произведение этих векторов положительно.
Следовательно, угол \(\displaystyle A\) – острый.
2. Рассмотрим угол при вершине \(\displaystyle \color{blue}B\small.\)
Этот угол образуют векторы \(\displaystyle \overrightarrow{BC}\) и\(\displaystyle \overrightarrow{BA}\small.\)
Но нам известно скалярное произведение \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}\small.\)
Напомним, что скалярное произведение \(\displaystyle \vec{a}(x_1;\,y_1)\) и \(\displaystyle \vec{b}(x_2;\,y_2)\)в координатах равно:
\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1\cdot y_2\small.\)
Если один из векторов заменить на противоположный, то обе его координаты поменяют знак:
\(\displaystyle -\vec{a}(-x_1;\,-y_1)\small.\)
Тогда и скалярное произведение изменит знак:
\(\displaystyle (-\vec{a})\cdot\vec{b}=(-x_1)\cdot x_2+(-y_1)\cdot y_2=-(x_1x_2+y_1y_2)=-\vec{a}\cdot\vec{b}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle \overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=-(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB})=-(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC})=-12\small.\)
То есть скалярное произведение этих векторов отрицательно.
Следовательно, угол \(\displaystyle B\) – тупой.
Таким образом, в треугольнике \(\displaystyle ABC\) угол \(\displaystyle B\) – тупой. То есть треугольник \(\displaystyle ABC\) – тупоугольный.
Ответ: тупоугольный.