Найдите сторону \(\displaystyle AC\) треугольника \(\displaystyle ABC\small,\) если угол \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle 60^\circ\small,\) \(\displaystyle AB=8\small,\) а скалярное произведение \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}=-40\small.\)
\(\displaystyle AC=\)
Чтобы найти отрезок, зная скалярное произведение, удобно использовать правило:
Cкалярным произведением векторов \(\displaystyle \overrightarrow {a}\) и \(\displaystyle \overrightarrow {b}\) называется число
\(\displaystyle \overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=|\overrightarrow {a}| \cdot |\overrightarrow {b}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}}).\)
Тогда, зная скалярное произведение векторов \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\small,\) можно найти \(\displaystyle |\overrightarrow{AC}|{\small:}\)
\(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow {AB}| \cdot |\overrightarrow {AC}|\cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}}){\small , }\)
\(\displaystyle |\overrightarrow {AC}|=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow {AB}| \cdot \cos ( \widehat{\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}})}=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{8\cdot\cos60^{\circ}}=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{4}\small.\)
Теперь установим связь между \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA}\) и \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}{\small:}\)
Напомним, что скалярное произведение \(\displaystyle \vec{a}(x_1;\,y_1)\) и \(\displaystyle \vec{b}(x_2;\,y_2)\)в координатах равно:
\(\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1\cdot y_2\small.\)
Если один из векторов заменить на противоположный, то обе его координаты поменяют знак:
\(\displaystyle -\vec{a}(-x_1;\,-y_1)\small.\)
Тогда и скалярное произведение изменит знак:
\(\displaystyle (-\vec{a})\cdot\vec{b}=(-x_1)\cdot x_2+(-y_1)\cdot y_2=-(x_1x_2+y_1y_2)=-\vec{a}\cdot\vec{b}\small.\)
Получаем:
\(\displaystyle |\overrightarrow {AC}|=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{4}=\frac{-(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CA})}{4}=\frac{-(-40)}{4}=10\small.\)
Длина вектора \(\displaystyle \overrightarrow {AC}\) равна длине отрезка \(\displaystyle AC\small.\) То есть \(\displaystyle AC=10\small.\)
Ответ: \(\displaystyle AC=10\small.\)