На плоскости построили два правильных многоугольника \(\displaystyle F_1\) и \(\displaystyle F_2\small.\) Оказалось, что количество вершин у \(\displaystyle F_1\) на \(\displaystyle 3\) меньше, чем у \(\displaystyle F_2\small.\) При этом внутренний угол \(\displaystyle F_1\) равен внешнему углу \(\displaystyle F_2\small.\) Найдите количество вершин у многоугольника \(\displaystyle F_2\small.\)
Обозначим количество вершин у многоугольника \(\displaystyle F_2\) за \(\displaystyle n\small.\) Тогда у многоугольника \(\displaystyle F_1\) \(\displaystyle (n-3)\) вершины.
Используя правило, выразим углы многоугольников \(\displaystyle F_1\) и \(\displaystyle F_2\) через \(\displaystyle n\small.\)
Сумма внутренних углов выпуклого \(\displaystyle n\)-угольника равна
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot (n-2)\small.\)
Тогда угол правильного \(\displaystyle n\)-угольника равен
\(\displaystyle \color{red}{\alpha}=\frac{180^{\circ}\cdot (n-2)}{n}\small.\)
Получаем
- внутренние углы \(\displaystyle F_1\) равны \(\displaystyle \color{red}{\alpha}=\frac{180^{\circ}\cdot ((n-3)-2)}{n-3}=\frac{180^{\circ}\cdot(n-5)}{n-3}\small,\)
- внутренние углы \(\displaystyle F_2\) равны \(\displaystyle \color{red}{\beta}=\frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}\small.\)
Угол \(\displaystyle \alpha\) равен внешнему углу для \(\displaystyle \beta\small,\) тогда
\(\displaystyle \alpha=180^{\circ}-\beta{ \small ,}\)
откуда, подставляя выражения для \(\displaystyle \alpha \) и \(\displaystyle \beta{\small ,} \)
\(\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-5)}{n-3}=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}\small.\)
Преобразуем уравнение и найдем \(\displaystyle n\small.\)
Сначала избавимся от знаменателей, домножив левую и правую часть на \(\displaystyle n(n-3)\small{:}\)
\(\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-5)n=180^{\circ}\cdot n(n-3)-180^{\circ}\cdot(n-2)(n-3)\small.\)
Сократим левую и правую часть на \(\displaystyle 180^{\circ}{\small:}\)
\(\displaystyle (n-5)n=n(n-3)-(n-2)(n-3)\small.\)
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(\displaystyle n^2-5n=(n^2-3n)-(n^2-2n-3n+6)\small,\)
\(\displaystyle n^2-7n+6=0\small.\)
\(\displaystyle n_1=1\) и \(\displaystyle n_2=6\small.\)
У многоугольника хотя бы три вершины, тогда
\(\displaystyle n=6\small.\)
Ответ: \(\displaystyle n=6\small.\)